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/ L3 / Théorie du signal 1 / TD Maxime Ossonce Laurie Conteville 2015/16 Sujet

/ L3 / Théorie du signal 1 / TD Maxime Ossonce Laurie Conteville 2015/16 Sujet no 1 Convolution et autocorrélation Sommaire Exercice no 1 : Autocorrélation d’un signal à énergie ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exercice no 2 : Autocorrélation d’un signal périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exercice no 3 : Convolution par une impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exercice no 4 : Convolution de deux signaux portes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exercice no 5 : Filtre RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exercice no 1 : Autocorrélation d’un signal à énergie ﬁnie 1.1) Calculer l’autocorrélation d’une exponentielle amortie (α > 0) : x(t) = ( Ae−αt si t ≥0 0 sinon. Exercice no 2 : Autocorrélation d’un signal périodique 2.1) Rappeler la propriété de l’autocorrélation d’un signal péridodique. 2.2) Calculer γx(τ) l’autocorrélation d’un signal sinusoïdal x(t) = Acos(2πf0t +φ). Exercice no 3 : Convolution par une impulsion La convolution est l’opérateur mathématique modélisant le comportement des systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT), autrement dit les ﬁltres linéaires. La convolution de deux signaux x(t) et 2 2015/16 L3 / Théorie du signal 1 Sujet no 1 / Convolution et autocorrélation y(t) s’écrit z(t) = x ∗y (t) = Z R x(τ)· y(t −τ)dτ 3.1) Montrer que l’impulsion dirac δ(t) est l’élément neutre de la convolution. 3.2) Montrer que le retard x(t −t0) peut s’écrire comme une convolution entre le signal x(t) et un dirac centré en t0. On considère un signal périodique x(t) ainsi que xT0(t) = ( x(t) si t ∈[−T0/2,T0/2[ 0 sinon. 3.3) Ecrire x(t) à partir du signal xT0(t). 3.4) Montrer que x(t) = xT0 ∗ЩT0 (t). Exercice no 4 : Convolution de deux signaux portes On note ΠT la fonction porte de largeur T ΠT (t) = ( 1 si t ∈ £ −T 2 ; T 2 ¤ 0 sinon. 4.1) Calculer ΠT ∗ΠT (t). 4.2) Calculer ΠT1 ∗ΠT2 (t) où T1 > T2. Exercice no 5 : Filtre RC Un ﬁltre passe-bas de premier ordre est de réponse impulsionnelle (causale) h(t) = ( αe−αt si t ≥0 0 sinon. Le réel α > 0 est l’inverse de la constante de temps. Calculer y(t) = x ∗h (t) dans les cas suivants : 5.1) L’entrée x(t) est un signal sinusoïdal. 5.2) L’entrée x(t) est un créneau x(t) = AΠ µ t −T 2 ¶ = ( A si t ∈[0,T ] 0 sinon. 2015/16 3 Sujet no 2 Transformées de Fourier usuelles Sommaire Exercice no 1 : Signal porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exercice no 2 : Exponentielle amortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exercice no 3 : Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exercice no 4 : Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exercice no 5 : Signal carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exercice no 6 : Signal triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exercice no 1 : Signal porte Etant donné T > 0, on considère le signal x(t) = AΠT (t) = ( A si |t| < T 2 0 sinon. 1.1) Calculer X (f ). Représenter Sx(f ) la DSE de x(t). 1.2) Que vaut R R Sx(f )d f ? 1.3) Calculer γx(τ) l’autocorrélation du signal x(t). Exercice no 2 : Exponentielle amortie Soit α un réel strictement positif. On étudie le signal suivant : x(t) = ( A e−αt si t ≥0 0 sinon 4 2015/16 L3 / Théorie du signal 1 Sujet no 2 / Transformées de Fourier usuelles 2.1) Représenter x(t). 2.2) Montrer que x(t) est à énergie ﬁnie. Que vaut E ? 2.3) Calculer la transformée de Fourier X (f ) de x(t). 2.4) Calculer et représenter la DSE du signal x(t). Exercice no 3 : Propriétés de la transformée de Fourier On montre les propriétés suivantes. Soit x(t) TF − →X (f ). 3.1) Que vaut la transformée de Fourier de x(t −t0)? 3.2) Que vaut la transformée de Fourier de x(t)·e2jπf0t ? 3.3) Que vaut la transformée de Fourier de x(t)·cos(2πf0t)? 3.4) Que vaut la transformée de Fourier de Acos(2πf0t)? On considère que le signal x(t) est dérivable. 3.5) Que vaut la transformée de Fourier de ˙ x(t)? Exercice no 4 : Transformée de Fourier inverse Etant donné F > 0, on considère le signal x(t) dont la transformée de Fourier est X (f ) = 1 F ΠF (f ) = ( 1 F si |f | < F 2 0 sinon. 4.1) Quelle est l’expression de x(t)? 4.2) Que vaut R R x(t)dt ? 4.3) Que vaut Sx(f ), la DSE de x(t)? En déduire E, l’énergie du signal. 4.4) Que vaut γx(τ) l’autocorrélation du signal x(t)? Exercice no 5 : Signal carré 5.1) Calculer la transformée de Fourier d’un signal carré de rapport cyclique r, en se basant sur le résultat de la question 3.4 du sujet 1. 2015/16 5 Sujet no 2 / Transformées de Fourier usuelles L3 / Théorie du signal 1 Exercice no 6 : Signal triangulaire On distinguera le signal triangle, xT0(t) =        A · ³ 1+ 2t T0 ´ si t ∈ h −T0 2 ; 0 i A · ³ 1−2t T0 ´ si t ∈ h 0; T0 2 i 0 sinon du signal triangulaire : ce dernier est le signal T0-périodique x(t) tel que x(t) = xT0(t) si t ∈ · −T0 2 ; T0 2 ¸ . 6.1) Représenter les signaux triangulaire x(t) et triangle xT0(t). 6.2) Calculer la puissance et la valeur moyenne, ou l’énergie, des signaux x(t) et xT0(t) suivant qu’ils sont à puissance ou à énergie ﬁnie. 6.3) Ecrire le signal x(t) comme étant le résultat du produit de convolution de xT0(t) et d’un signal à préciser. On note ΠT la fonction porte de largeur T ΠT (t) = ( 1 si t ∈ £ −T 2 ; T 2 ¤ 0 sinon. 6.4) Calculer ΠT ∗ΠT (t). 6.5) Ecrire xT0(t) comme étant, à un facteur scalaire près, la convolution de deux portes, dont vous préciserez la largeur. 6.6) Ecrire x(t) comme étant la convolution de 3 signaux. 6.7) En déduire l’expression de la transformée de Fourier de x(t). 6 2015/16 Sujet no 3 Echantillonnage Sommaire Exercice no 1 : Echantillonage théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exercice no 2 : Echantillonnage d’un signal audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exercice no 3 : Signal échantillonné-bloqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exercice no 1 : Echantillonage théorique Etant donné un signal x(t) et fe = 1 Te , la fréquence d’échantillonnage, le signal échantillonné xe(t) est le signal : xe(t) = x(t)·ЩTe (t). 1.1) Ecrire ЩTe (t) sous forme d’une série de Fourier. 1.2) En déduire l’expression de Xe(f ) en fonction de X (f ). 1.3) Illustrer le phénomène de recouvrement spectral. 1.4) En déduire la condition de possibilité de reconstruction de x(t) à partir de xe(t) (théorème de Nyquist-Shannon)? Exercice no uploads/Litterature/ tdsignal-1.pdf