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Corrige 05 1 D Mécanique Analytique Corrigé Assistants jaap kroes ep ch D benjamin audren ep ch - Exercice Problème de la brachistochrone Dans cet exercice nous cherchons la courbe dans le plan x y minimisant le temps de parcours entre l'origine O et le p

D Mécanique Analytique Corrigé Assistants jaap kroes ep ch D benjamin audren ep ch - Exercice Problème de la brachistochrone Dans cet exercice nous cherchons la courbe dans le plan x y minimisant le temps de parcours entre l'origine O et le point P x y dans un champ C gravi que constant Il nous faut tout d'abord utiliser la conservation de B l'énergie pour exprimer la vitesse de la particule en fonction de y En e et en C prenant y pour niveau de référence du potentiel gravi que on a mv ?? mgy ? v y gy La stratégie est maintenant de minimiser le temps de parcours entre O et P Le temps nécessaire pour parcourir une longeur ds dx dy est dt ds v y La fonction à minimiser dépendra donc explicitement de y Le point clé ici est de bien comprendre l'analogie avec la minimisation de C l'action comme vue en cours Lorsque l'on dé ni l'action comme intégrale sur le temps du Lagrangien c'est en cherchant à minimiser l'action que l'on trouve les équations d'Euler-Lagrange Ici on cherche à minimiser le temps de parcours que l'on écrit comme une intégrale sur une distance dx ou dy selon le choix d'une quantité Chercher à minimiser ce temps de parcours revient à trouver des equations d'Euler-Lagrange pour la quantité intégrée Nous devons maintenant choisir quelle paramétrisation utiliser soit x y x soit x y y Nous allons voir que dans le cadre ce cet exercice les deux C choix mènent à une quantité conservée qui nous permettra de simpli er la B résolution du système En e et nous allons voir que dans le premier cas la fonction hamiltonienne est une quantité conservée alors que dans le second une variable cyclique appara? tra ?? Commençons par le choix x y y L'élément de ligne s'écrit alors comme ds x dy et le temps à minimiser comme y x T ?? dy ?? ?? dy F g y g On voit qu'il s'agit de trouver la courbe réalisant le meilleur compromis entre une courte distance et une grande vitesse Comme discuté ce choix fait appara? tre une variable cyclique qui nous permet de résoudre le système plus facilement d ? F ? F ? ? F ? x const a dy ? x ? x ? x ? x y B En e ectuant la dérivée par rapport à x l'équation d'Euler-Lagrange prend la forme x ?? y ?? a y ? x x b ??y avec b a ?? La forme de la courbe est donc donnée par l'intégrale suivante dx y x y dx c dy c dy c dy b ??y Voyons maintenant que l'on retrouve le même résultat en utilisant la paramétrisation x y x L'élément de ligne serait alors ds y dx et l'intégrale à minimiser x y T ?? dx ?? ?? dx G g y g CL'équation d'Euler-Lagrange serait alors de la forme d ? G ? G dx ? y