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Corrige entree septembre 2019

Corrigé entrée Septembre QUESTION tous les mots de Lukasiewicz de longueur ? sont ? - ? - - QUESTION Supposons qu ? il existe un mot de Lukasiewicz u de taille paire Puisque le mot est de Lukasiewicz alors p u - ce qui veut dire que si le nombre de dans le mot est N alors le nombre de - est N nécessairement alors le mot serait de taille N en d ? autres termes de taille impaire ce qui contredit le fait que u est de taille paire QUESTION le coût des lignes et est O Donc le coût total est O O ?in ?? O O O n Remarque il suf ?t de répondre que le coût est O n sans justi ?cation la réponse sera considérée juste QUESTION Soit u et v deux mots de Lukasiewicz de taille respectivement N et M Montons que u v est un mot de Lukasiewicz On a p u v p u p v - - - donc la première propriété est vraie Soit w un pré ?xe strict du mot u v ? er cas w On a p w ? ? ème cas w u ? tel que u ? pré ?xe strict de u alors puisque u est un mot de Lukasiewicz p u ? ? donc p w p u ? ? C ? ème cas w u alors p w - ? ? ème cas w uv ? tel que v ? pré ?xe strict de v alors puisque v est un mot de Lukasiewicz p v ? ? donc p w - p v ? p v ? ? Donc dans tous les cas la ème propriété est véri ?ée D ? o? u v est un mot de Lukasiewicz QUESTION Soit un mot w w wn de Lukasiewicz de longueur supérieure ou égale à Montrons qu ? il admet une décomposition unique de la forme u v o? u et v sont des mots de Lukasiewicz Puisque w est un mot de Lukasiewicz alors certainement il s ? écrit sous la forme w car sinon s ? il s ? ecrit sous la forme - w alors il ne sera pas un mot de Lukasiewicz puisque le pré ?xe strict - ne respectera la propriété que tout pré ?xe strict son poids doit être supérieure ou égale à et aussi certainement il existe un pré ?xe strict w de w tel que p w - car sinon s ? il n ? existe tel pré ?xe véri ?ant ceci puisque w est pré ?xe strict de w alors w est pré ?xe strict de w et comme w de Lukasiewicz donc p w ? càd p w ? d ? o? p w ? ?? donc même si w n sera égale à alors p w sera supérieure ou égale à contradiction car il devrait être égale à - parce w est un mot de Lukasiewicz d ? o? l ? existence d