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Cours arithmetique C - Lycée IFFET Mathématiques Novembre I- DIVISION EUCLIDIENNE - Multiples et diviseurs d'un entier relatif - Dé ?nition ? Un entier relatif a est un multiple d'un entier relatif b si et seulement si il existe un entier relatif q tel qu

C - Lycée IFFET Mathématiques Novembre I- DIVISION EUCLIDIENNE - Multiples et diviseurs d'un entier relatif - Dé ?nition ? Un entier relatif a est un multiple d'un entier relatif b si et seulement si il existe un entier relatif q tel que a bq ? On dit que b est un diviseur de a ou que b divise a et on le note b a b divise a ? ex est un multiple de et est un diviseur de - Propriétés ? Ensembles des multiples d'un entier relatif Soit a ? les multiples de a sont -ka - k- a -a a ka k ? On note a l'ensemble des multiples de a En particulier l'ensemble des multiples de est et l'ensemble des multiples de est Z ? La relation divise est une relation d'ordre dans IN - elle est ré exive pour tout a ? ?? a a - elle est antisymétrique si a a' et a' a alors a a' - elle est transitive si a a' et a' a alors a a Remarque La relation divise est une relation d'ordre partiel En e ?et on n'a pas nécessairement que a divise b ou b divise a ? Soit a b c appartenant à si a divise b et b divise c alors a divise c ? Si b a alors ??b a ? Si a b et b a alors a b o? a -b ? Si c a et c b alors c divise a b a-b ax by pour tous entiers x y - DIVISION EUCLIDIENNE - Théorème Soit a ? et b ? ?? il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tel que a ? bq ? r avec ? r ?? b - Dé ?nition Soit a ? et b ? ?? E ?ectuer la division euclidienne de a par b c'est déterminer q et r tels que a ? bq ? r ? r ?? b a est le dividende b le diviseur q le quotient et r le reste Remarques - ? a ?? b alors q et r a - Si r a est un multiple de b et q est le quotient exact de a par b - Division de même reste Soit a a' b ? tels que r est le reste commun dans la division euclidienne de a et a' par b On a a bq r et a' bq' r avec ? r ?? b Alors a-a' b q-q' donc a - a' est un multiple de b Réciproquement si a - a' bm et a' bq' r avec ? r ?? b alors a b q' m r ? r ?? b donc r est reste de la division de a par b Théorème Soit a a' b ? a et a' ont le même reste dans la division euclidienne par b si et seulement si la di ?érence a-a' est un multiple de b II- CONGRUENCES -