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Cours chap1 Première partie Les fondements C CChapitre Une particule quantique sans spin à dimension I Dans ce chapitre il y a beaucoup de rappels du cours de licence mais avec une présentation aussi un peu plus formelle Nous allons étudier une particule

Première partie Les fondements C CChapitre Une particule quantique sans spin à dimension I Dans ce chapitre il y a beaucoup de rappels du cours de licence mais avec une présentation aussi un peu plus formelle Nous allons étudier une particule se déplaçant à une x dimension Il s'agit d'une particule sans degré de liberté interne sans spin Dans les premières sections on suppose que la particule C quantique est isolée de son environnement Précisément cela signi e que son D mouvement n'in uence pas le reste de la nature les particules environnantes Par contre on accepte que son environnement exerce sur elle une certaine force F décrite par une fonction énergie potentielle V x d'après la relation F x ??dV dx La force pouvant même dépendre du temps mais nous la supposerons indépendante du temps dans ce chapitre Avec ces hypothèses la théorie quantique nous permet de décrire l'état dynamique de la particule par une fonction d'onde Bien sûr pour être valables en pratique ces hypothèses nécessitent des approximations Il est important de noter que le terme particule sera employé mais que c'est un terme trompeur puisqu'il faut imaginer une onde qui est un objet étendu et C non ponctuel Pour xer les idées il peut s'agir d'un atome vibrant au coeur d'un matériau ou dans une molécule soumis aux forces des atomes voisins Il C peut aussi s'agir d'un électron libre se déplaçant dans un l conducteur en oubliant le spin Espace des états les fonctions d'ondes Espace vectoriel des fonctions d'ondes Une fonction d'onde permet de décrire l'état spatial d'une particule C'est une fonc- tion à valeurs complexes Si l'espace est à une dimension paramétré par x ?? R une fonction d'onde est C CHAPITRE UNE PARTICULE QUANTIQUE SANS SPIN À DIMENSION I ? x ? ? x ?? C L'ensemble des fonctions d'ondes noté H forme un espace vectoriel complexe car si ? ? ?? H alors la somme et le produit par une constante complexe appartiennent aussi à cet ensemble si ? ? ?? H et ? ?? C alors ? ? ?? H ? ? ?? H C Mais il s'agit d'un espace vectoriel de dimension in nie voir plus loin cela est lié au fait que une fonction ? est déterminée par les valeurs de ? x prises C B en une in nité de valeurs de x di érentes Dans la notation de Dirac on convient de représenter une fonction d'onde ? par le symbole ? et appelé ket Ainsi on écrira pour eq ? ? ? ? Il n'y a rien de nouveau dans cette notation sauf peut être l'image que l'on se fait d'une fonction d'onde L'image traditionnelle est une fonction x ? ? x représentée par son H graphe Dans la notation de Dirac on imagine plutôt un point de l'espace vectoriel qui est l'extrémité d'une Dèche Cette image vectorielle suggérée par Dirac et les mathématiciens a des avantages certains mais notre imagination ne permet pas de dépasser la