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Course fourier laplace SÉRIES DE FOURIER par J Monnier professeur INSA Toulouse Jerome Monnier insa-toulouse fr Janvier Résumé Introduction aux séries de Fourier un outil mathématique de base pour l ? ingénieur Public visé étudiants professionnels en form

SÉRIES DE FOURIER par J Monnier professeur INSA Toulouse Jerome Monnier insa-toulouse fr Janvier Résumé Introduction aux séries de Fourier un outil mathématique de base pour l ? ingénieur Public visé étudiants professionnels en formation continue cycle préparatoire de notre école d ? ingénieur INSA Table des matières Introduction Les séries et premier exemple de série de Fourier Les séries très bref rappel Les séries trigonométriques Un exemple bien choisi de développement en série de Fourier Expression des coe ?cients des séries de Fourier Expression des coe ?cients forme réelle Expression des coe ?cients forme complexe Remarques Théorème de Jordan-Dirichlet conditions su ?santes de convergence Et dans le cas d ? une fonction non périodique Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier Fonction chapeau continue Fonction linéaire par morceaux discontinue Fonction créneau discontinue Introduction Les séries de Fourier constituent un outil fondamental pour étudier les phénomènes fonctions périodiques En ingénierie elles sont utiles dans la décomposition de signaux périodiques tels que des courants électriques des ondes cérébrales des ondes sonores des images etc Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d ? un exemple présenté dans le cours de N Pottier de l ? université Paris Elements de base disponibles dans tout bon cours ou encore sur la page ad-hoc de Wikipedia Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d ? un exemple présenté dans le cours de N Pottier de l ? université Paris CSÉRIES DE FOURIER Figure J -B Joseph Fourier - mathématicien et physicien français J Fourier est connu pour avoir déterminé par le calcul la di ?usion de la chaleur en utilisant la décomposition d ? une fonction quelconque en une série trigonométrique convergente i e les séries de Fourier La méthode de calcul permettant de passer de façon réversible d ? une fonction à la série trigonométrique correspondante est la transformation de Fourier Cette méthode très féconde est devenue incontournable en théorie du signal imagerie numérique compression de données dans l ? exploitation des systèmes G G Extrait de Wikipedia Considérons un signal basique la vibration d ? un diapason Quand le diapason vibre il fait vibrer les molécules d ? air En un point x et au temps t la variation pression de l ? air p produite par le diapason p caractérise l ? onde sonore est une onde sinusoidale pure de pulsation ??v et de vecteur d ? onde k ?? v la célérité de l ? onde et sa longueur d ? onde On a alors p x t Acos kx t Si l ? on émet simultanément plusieurs sons de fréquences di ?érentes la pression résultante n ? est pas une simple fonction sinuso? dale mais une somme de plusieurs fonctions sinuso? dales De même si l ? on joue une note de piano on n ? obtient pas une onde sonore de fréquence unique mais un son fondamental accompagné d ? autres sons les harmoniques de fréquences égales à n fois celle du