Premier cours d'analyse mathématique Sabin Lessard Université de Montréal 1er m
Premier cours d'analyse mathématique Sabin Lessard Université de Montréal 1er mai 2013 Avant-propos Ces notes sont utilisées pour un premier cours d'analyse (MAT1000) of- fert aux étudiants du premier cycle en mathématiques et statistique de l'Uni- versité de Montréal, ce qui comprend les étudiants en actuariat. Bien que le cours n'exige pas o ciellement de préalables, il s'adresse à des étudiants qui ont déjà des connaissances en mathématiques. Celles-ci ont pu avoir été ac- quises par exemple par des cours de calcul diérentiel et intégral, d'algèbre linéaire ou de mathématiques discrètes. L'analyse mathématique a pour objet l'étude du continu. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Ce qui la distingue du calcul in nitésimal est l'explication rigoureuse des calculs. L'analyse mathématique demande un eort sérieux de la part des étudiants qui ne sont pas toujours familiers avec la notion de preuve. Or, toutes les a rmations dans un cours d'analyse mathématique sont habituellement démontrées. On ne se contente pas d'indiquer comment faire des calculs, on explique pourquoi on peut les faire ainsi. Un choc culturel pour plusieurs. Le premier cours approfondit le calcul diérentiel. Il commence par une présentation des nombres réels (chapitre 1), suivie par une étude des suites et des séries numériques autour de la notion de convergence (chapitres 2 et 3). Il se poursuit et se termine par l'étude des fonctions numériques autour des notions de continuité et de dérivation (chapitre 4 et 5). Les points culmi- nants sont la propriété de Bolzano-Weierstass sur l'existence d'une sous-suite convergente, la règle de l'Hôpital sur la limite d'un quotient de fonctions de forme indéterminée, et la formule de Taylor pour approcher une fonction plusieurs fois dérivable. Le contenu du cours est de nature essentiellement théorique. L'objectif est de revenir aux sources de la pensée mathématique et de fournir des bases solides pour les développements ultérieurs. Les applications sont l'objet de nombreux autres cours, notamment sur les probabilités ou les équations dif- férentielles. Les notes ont été fortement in uencées à l'origine par le livre Introduction à l'analyse réelle, par Jacques Labelle et Armel Mercier, ainsi que par les notes de cours Analyse 1, de notre collègue André Giroux. Mentionnons également l'excellent et volumineux Calculus, de Michael Spivak, ainsi que Premier cours d'analyse mathématique ii de nombreux articles en ligne dans Wikipedia, qui sont souvent des exemples de concision et la clarté. La bibliographie contient une liste complète des ouvrages qui ont été utilisés. En n un grand merci aux générations d'étudiants et étudiantes ainsi qu'à mes collègues anciens ou actuels du département de mathématiques et de statistique de l'Université de Montréal pour des commentaires judicieux et des discussions stimulantes sur la matière du cours. Un merci spécial pour mon directeur de thèse de doctorat, Richard Dun- can, dont j'ai toujours admiré l'enthousiasme pour l'enseignement, et une pensée pour mon superviseur de stage postdoctoral et mentor en génétique mathématique, Samuel Karlin, décédé en 2007, le mathématicien le plus éner- gique et inspirant que j'ai eu le privilège de connaître. Montréal, 18 janvier 2013 Sabin Lessard Symboles et notations R ensemble des nombres réels N ensemble des entiers naturels Z ensemble des entiers relatifs Q ensemble des nombres rationnels ∞in ni ∀pour tout (tous) ∃il existe ∈appartient à (l'ensemble) / ∈négation de ∈ ⊆inclus dans (l'ensemble) ⊈négation de ⊆ ∪union (d'ensembles) ∩intersection (d'ensembles) Ec complémentaire de l'ensemble E E fermeture ou adhérence de l'ensemble E int(E) in térieur de l'ensemble E Fr(E) frontière de l'ensemble E = égal à (un nombre ou un ensemble) ̸= négation de = < inférieur (strictement) à ≤inférieur ou égal à > supérieur (strictement) à ≥supérieur ou égal à + plus (pour l'addition de deux nombres ou fonctions) −moins (pour la soustraction de deux nombres ou fonctions, ou la diérence de deux ensembles) · fois (pour la multiplication de deux nombres ou fonctions) / (oblique ou horizontal) sur (pour la division de deux nombres ou fonctions) inf in mum (d'un ensemble) sup supremum (d'un ensemble) min minimum (d'un ensemble) max maximum (d'un ensemble) lim limite (d'une suite ou d'une fonction) lim sup ou lim limite supérieure (d'une suite) Symboles et notations iv lim inf ou lim limite inférieure (d'une suite) →tend vers (un nombre ou l'in ni) ou à valeur dans (un ensemble) P somme (de nombres ou fonctions) n! factorielle de l'entier naturel n ⌊a⌋partie entière du nombre a |a| valeur absolue du nombre a a−1 élément inverse du nombre a a2 carré du nombre a an puissance n-ième du nombre a ax puissance du nombre a d'exposant réel x √a racine carrée du nombre a n √a racine n-ième du nombre a e constante d'euler π constante pi sin fonction sinus cos fonction cosinus ln fonction logarithme népérien exp fonction exponentielle f(a) valeur de la fonction f au point a f(a−) limite à gauche de la fonction f au point a f(a+) limite à droite de la fonction f au point a f−1(b) fonction réciproque de la fonction f au point b f′(a) dérivée de la fonction f au point a f′ g(a) dérivée à gauche de la fonction f au point a f′ d(a) dérivée à droite de la fonction f au point a f(n)(a) dérivée n-ième de la fonction f au point a f ◦g(a) ou f(g(a)) composition de la fonctions g par la fonction f évaluée au point a Premier cours d'analyse mathématique v Table des matières 1 Droite numérique 2 1.1 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Entiers naturels et induction mathématique . . . . . . . . . . 7 1.4 Nombres rationnels et nombres irrationnels . . . . . . . . . . 10 1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Ensembles ouverts et ensembles fermés . . . . . . . . . . . . . 17 2 Suites numériques 21 2.1 Limite d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Limite inférieure et limite supérieure . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Propriété de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Propriété de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Séries numériques 37 3.1 Séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Critères de convergence pour les séries positives . . . . . . . . 39 3.3 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 *Séries normalement et uniformément convergentes . . . . . . 49 3.5 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Développement décimal d'un nombre réel . . . . . . . . . . . 53 4 Limite et continuité d'une fonction numérique 55 4.1 Limite d'une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Propriété des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Propriété des bornes atteintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5 Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.6 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ analyse-1.pdf
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