S´ eries chronologiques - Pr´ evision par lissage exponentiel Agn` es LAGNOUX l

S´ eries chronologiques - Pr´ evision par lissage exponentiel Agn` es LAGNOUX lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAG1 - MI00141X Introduction Introduites par Holt en 1958, Winters en 1960 et popularis´ ees par le livre de Brown en (1963), les m´ ethodes de lissage constituent l’ensemble des techniques empiriques de pr´ evision qui accordent plus ou moins d’importance aux valeurs du pass´ e d’une s´ erie temporelle. Les trois mod` eles ci-dessous seront trait´ es dans ce chapitre : ∀t ∈Z, Xt = Zt + ǫt ; ∀t ∈Z, Xt = Zt + St + ǫt. ∀t ∈Z, Xt = ZtSt + ǫt. avec Zt une s´ erie constante ou lin´ eaire. Le lissage exponentiel simple (LES) Mod` ele consid´ er´ e : Xt = a + ǫt. Soit 0 < β < 1, on cherche la meilleure (au sens des MC pond´ er´ es) pr´ evision cte ˆ XT(h) i.e. la solution de min a T−1 X j=0 βj(XT−j −a)2. D´ efinition La pr´ evision de la s´ erie ` a l’horizon h, ˆ XT(h), fournie par la m´ ethode de lissage exponentiel simple est donn´ ee par ˆ XT(h) = (1 −β) T−1 X j=0 βjXT−j o` u β est la constante de lissage. Remarques sur le LES 1 si β est ind´ ependant de h, on note ˆ XT au lieu de ˆ XT(h). 2 Cette m´ ethode prend en compte tt le pass´ e de la SC mais en accordant de - en - d’importance aux observations les plus ´ eloign´ ees de l’instant T. 3 La valeur de β permet de nuancer la remarque pr´ ec´ edente : - β proche de 0, pr´ evision souple i.e. fortement influenc´ ee par les observations les plus r´ ecentes. - β = 0, la pr´ evision est alors ´ egale ` a la derni` ere valeur observ´ ee. - β est proche de 1, pr´ evision rigide i.e. l’influence des observations pass´ ees est d’autant plus importante et remonte loin dans le pass´ e. - β = 1, alors toutes les pr´ evisions sont identiques. En pratique, on prend β ∈]0, 1[ afin d’exclure ces deux cas extrˆ emes d´ eg´ en´ er´ es. LES - Formules de mise ` a jour A partir de la d´ ef, on obtient la formule de mise ` a jour : ˆ XT(h) = β ˆ XT−1(h)+(1−β)XT = ˆ XT−1(h)+(1−β)(XT −ˆ XT−1(h)). Remarque 1 1` ere ´ egalit´ e : ˆ XT(h)= barycentre entre ˆ XT−1(h). La valeur pr´ edite ` a l’horizon h ` a partir des T −1 premi` eres observations et XT la derni` ere observation. 2 2nde ´ egalit´ e fait intervenir (XT −ˆ XT−1(h)) la derni` ere erreur de pr´ evision. 3 Initialisation de la r´ ecurrence par ˆ X1(h) = X1 ou la moyenne des observations. Figure: Influence de l’initialisation pour le lissage exponentiel simple : s´ erie temporelle initiale (cercle noir), s´ eries liss´ ees avec initialisation en X1 (en bleu) ou ¯ X (en rouge) avec β = 0.8 (` a droite) et avec β = 0.2 (` a gauche). LES - Choix du β Un probl` eme important en pratique est le choix du β qui est en g´ en´ eral tr` es subjectif et varie selon le contexte de l’´ etude et/ou le type de pr´ evision souhait´ e. En pratique, si on veut une pr´ evision rigide, on choisira β ∈[0.7; 0.99]. si on veut une pr´ evision souple, on choisira β ∈[0.01; 0.3]. si on ne sait pas, une autre solution, dict´ ee par les donn´ ees, consiste ` a choisir β comme la solution T−h X t=1  Xt+h −ˆ Xt(h) 2 =  X1+h −ˆ X1(h) 2 +. . .+  XT −ˆ XT−h(h) 2 . Afin de ne pas tenir compte de l’initialisation, on minimise seulement T−h X t=[(T−h)/2]  Xt+h −ˆ Xt(h) 2 . Figure: Influence de la constante de lissage pour le lissage exponentiel simple : s´ erie temporelle initiale (trait noir), s´ eries liss´ ees avec β = 0.8 (trait pointill´ e rouge) et avec β = 0.2 (trait pointill´ e bleu). Le lissage exponentiel double (LED) Mod` ele consid´ er´ e : Xt = a(t −T) + b + ǫt. On cherche donc une pr´ evision ` a l’horizon h, ˆ XT(h) de la forme ˆ XT(h) = ˆ aTh + ˆ bT, o` u le couple (ˆ aT, ˆ bT) minimise la fonction T−1 X j=0 βj (XT−j −(aj + b))2 . En notant la s´ erie liss´ ee S1 et la s´ erie doublement liss´ ee S2 d´ efinies par S1(t) = (1 −β) t−1 X j=0 βjXt−j, S2(t) = (1 −β) t−1 X j=0 βjS1(t −j), on d´ eduit la d´ efinition suivante LED - D´ efinition D´ efinition La pr´ evision de la s´ erie ` a l’horizon h, ˆ XT(h), fournie par la m´ ethode de lissage exponentiel double est donn´ ee par ˆ XT(h) = ˆ aTh + ˆ bT o` u β est la constante de lissage et le couple (ˆ aT, ˆ bT) est donn´ e par ( ˆ aT = 1−β β (S1(T) −S2(T)) ˆ bT = 2S1(T) −S2(T) LED - Formules de mise ` a jour Les formules de mise ` a jour s’obtiennent ` a partir de ces expressions ˆ aT = ˆ aT−1 + (1 −β)2  XT −ˆ XT−1(1)  , et ˆ bT = ˆ bT−1 + ˆ aT−1 + (1 −β2)  XT −ˆ XT−1(1)  . Remarque 1 Pour l’initialisation, on prend ˆ a2 = X2 −X1 et ˆ b2 = X2. 2 On peut g´ en´ eraliser cette technique de lissage pour traiter des s´ eries sans saisonnalit´ e pr´ esentant une tendance polynˆ omiale de degr´ e sup´ erieur ` a 2. Les r´ esultats font intervenir, dans ce cas, les op´ erateurs de lissage d’ordre p Sp(t), p ∈N, it´ er´ ees d’ordre p de S1(t). Figure: Influence de la constante de lissage pour le lissage exponentiel double : s´ erie temporelle initiale (trait noir), s´ eries liss´ ees avec β = 0.8 (trait pointill´ e rouge) et avec β = 0.2 (trait pointill´ e bleu). La m´ ethode de Holt-Winters (HW) La m´ ethode de lissage exponentiel double permet de traiter des s´ eries pr´ esentant une tendance lin´ eaire mais sans saisonnalit´ e. On peut ´ egalement d´ efinir des lissages exponentiels g´ en´ eralis´ es sur le mˆ eme principe que les techniques d´ ecrites dans les sections pr´ ec´ edentes permettant de traiter des s´ eries avec saisonnalit´ e. Une m´ ethode un peu diff´ erente a ´ et´ e introduite par Holt et Winters. Il existe une version non saisonni` ere de cette m´ ethode, c’est-` a-dire adapt´ ee aux s´ eries sans saisonnalit´ e pouvant ˆ etre ajust´ ees par une droite au voisinage de T (comme pour le lissage exponentiel double). La diff´ erence entre la m´ ethode de Holt-Winters et le lissage exponentiel double porte sur les formules de mise ` a jour. La m´ ethode non saisonni` ere de HW Mod` ele consid´ er´ e : Xt = a(t −T) + b + ǫt. Les mises ` a jour pour le LED s’´ ecrivent aussi ˆ aT = 1 −β 2  ˆ XT(1) −ˆ XT−1(1)  + 1 + β 2 ˆ aT−1, et ˆ bT = (1 −β2)XT + β2  ˆ XT−1(1) + ˆ XT−1(2)  . Ainsi ´ ecrits, ˆ aT et ˆ bT apparaissent comme des barycentres. Holt et Winters ont alors propos´ e les mises ` a jour suivantes : ˆ aT = (1 −γ)  ˆ XT(1) −ˆ XT−1(1)  + γˆ aT−1, et ˆ bT = (1 −α)XT + α  ˆ XT−1(1) + ˆ XT−1(2)  , o` u |α| < 1 et |γ| < 1. La m´ ethode non saisonni` ere de HW Mod` ele consid´ er´ e : Xt = a(t −T) + b + ǫt. L’initialisation peut se faire comme dans le cas du lissage exponentiel double. L’avantage de cette approche est d’avoir une plus grande flexibilit´ e mais la contrepartie est de devoir r´ egler deux param` etres. Si α et γ sont proches de 1 tous les deux, la pr´ evision est lisse (fort poids du pass´ e). La m´ ethode saisonni` ere additive de HW Mod` ele consid´ er´ e : Xt = (a(t −T) + b) + St + ǫt. La m´ ethode de Holt-Winters propose pour l’estimation de a, b et St les formules de mise ` a jour suivantes          ˆ aT = (1 −β)ˆ aT−1 + β  ˆ bT −ˆ bT−1  , ˆ bT = α  XT −ˆ ST−P  + (1 −α)  ˆ bT−1 + ˆ aT−1  ˆ ST = γ  XT −ˆ bT  + (1 −γ)ˆ ST−P o` u α, β et γ ∈]0, 1[. On en d´ eduit une pr´ uploads/Management/ chap-6 1 .pdf

• Détails
• Publié le Mai 14, 2022
• Catégorie Management
• Langue French
• Taille du fichier 0.2362MB