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Devoiramimath7c2 2018 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Février de h à h Exercice points On considère les équations dont les inconnues sont des entiers ??E ?? u ?? v ? et ??F ?? x ? ??

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Février de h à h Exercice points On considère les équations dont les inconnues sont des entiers ??E ?? u ?? v ? et ??F ?? x ? ?? ? a En appliquant le test de primalité véri ?er que est un nombre pre mier b Montrer que le couple ?? ?? est solution de l ? équation ??E ?? c Résoudre dans l ? équation ??E ?? Soit x une solution de l ? équation ??F ?? a Prouver que les nombres x et sont pre mie rs entre eux b Montrer que x ? ?? ? puis que x ? ?? ? Soit n un entier Montrer que si n ? ?? ? alors n est solution de ??F ?? Montrer que les solutions de ??F ?? sont tous les entiers x ? ? k k ? pt pt pt pt pt pt pt Exercice points ?? ?? On dé ?nit la suite ??In ?? par I ? ?? t dt et In ? tn ?? t dt pour tout n ? ?? On pose f x ? cosx ?? t dt ? x ? a Montrer que f est dérivable sur puis calcule r f ??x ?? b Déterminer f x pour x ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? puis en déduire la valeur de I c Interpréter graphiquement l ? intégrale I et retrouver sa valeur a Montrer que la suite ??In ?? est décroissante et minorée Que peut-on en déduire b Montrer que pour tout n ? ? In ? puis n ? en déduire lim n ? In a Calculer I b A l ? aide d ? une intégration par parties montre r que ? n ? In ? ? n n ? ? In c Montrer que ? n ? n ? ? In ? ? puis calculer lim In ? n ? In I n ? n a Montrer par récurrence que ? n ? In ? In ? ? ??n ? ? ?? ??n ? ?? ??n ? ?? b Prouver que lim n n ? n In ? ? ?? n ?? ? Montrer que ?? ?? I n ? n ? n n ? et en déduire l ? expression de I n ? pt pt pt pt pt pt pt pt pt pt pt Devoir de maths C heures Proposé par l ? association des amis de maths AMIMATHS Page CExercice points Soit f z ? iz ?? z ? pour tout z ? ?? ?? ? a Montrer que l ? équation f z ? z admet une solution imaginaire pure z b Résoudre dans l ? équation f z ? z soit zo z et z ses solutions avec Re zo ? et Re z ?? Re z i ? i ? a Montrer que ? z ?