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Dossier 8 fon ction exp Rappels sur la fonction exponentielle Dossier N FONCTIONS Introduction Si on ajoute une contrainte supplémentaire par exemple le fait que la courbe passe par le point A la courbe ci-dessous appara? t Introduction En classe de premi

Rappels sur la fonction exponentielle Dossier N FONCTIONS Introduction Si on ajoute une contrainte supplémentaire par exemple le fait que la courbe passe par le point A la courbe ci-dessous appara? t Introduction En classe de première vous vous êtes intéressé à l ? existence éventuelle d ? une fonction qui serait égale à sa fonction dérivée Du point de vue graphique et si une telle fonction existe en un point de la courbe d ? ordonnée u la pente de la tangente est u Voici une illustration de cette idée à chaque position on a dessiné une tangente dont la pente correspondant à cette position On peut constater le parallélisme des tangentes pour la même ordonnée C ? est cette fonction que l ? on va appeler fonction exponentielle On dit d ? une telle fonction qu ? elle est solution de l ? équation di ?érentielle y y CDé ?nition On admet qu ? il existe une fonction dérivable sur R égale à sa dérivée et telle que l ? image de soit égale à Plus précisément F F F F O n admet qu ? il existe une fonction f dérivable sur R telle que f x pour tout x de R F F et f Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est accessible sur vos calculatrices par la touche ex Nous la noterons pour l ? instant sous la forme exp x F F F F O n a donc exp x exp x pour tout x de R F F et exp Propriété calculatoire Il a été démontré en première les propriétés ci-dessous Pour tout x de R exp x Pour tout a et b de R exp a b exp a ? exp b La fonction exp transforme les sommes en produits exp a Pour tout a et b de R exp a ?? b exp b La fonction exp transforme les di ?érences en quotients Pour tout b de R exp ??b exp b La fonction exp transforme l ? opposé en l ? inverse Et bien sur C ? est dans la dé ?nition exp Le nombre e On décide de noter e l ? image de par la fonction exp On peut démontrer à l ? aide de la méthode d ? Euler par exemple que e ?? Ce nombre est un nombre irrationnel Il se produit alors un e ?et remarquable I exp e I exp e e I exp exp exp ? exp e ? e e I exp exp exp ? exp e ? e e I exp exp exp ? exp e ? e e On peut alors démontrer par récurrence que Pour tout n de N exp n en o? e est le nombre réel dé ?ni comme l ? image de par la fonction exponentielle Puisque exp ??n la propriété précédente peut être généralisée exp n Pour tout n de Z exp n en CChangement de notation On décide alors de généraliser à toute