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Ds 02 enonce MPSI DS Contrôle du Calculatrices interdites Questions proches du cours On rappelle que j i ? e Donner la forme algébrique de j et rappeler les valeurs de j et j j j Écrire sous forme ?ei les nombres complexes suivants i ?? i j et ?? j Linéar

MPSI DS Contrôle du Calculatrices interdites Questions proches du cours On rappelle que j i ? e Donner la forme algébrique de j et rappeler les valeurs de j et j j j Écrire sous forme ?ei les nombres complexes suivants i ?? i j et ?? j Linéariser les expressions cos x et sin x Résoudre l'équation en z ?? C z jz ?? Vous donnerez les solutions sous forme algébrique a ib Déterminer les racines cubiques de ?? c'est à dire résoudre l'équation Z ?? On pourra mettre Z sous sa forme polaire Z ?ei En déduire les solutions complexes de l'équation en z ?? C l'équation z ?? ?? z Soient a et b deux réels tels que z a b j ? Exprimer z en fonction de a et b ? Mettre sous la forme u v j o? u et v sont deux réels z Calcul d'une somme Soit n un entier naturel Exprimer la quantité n jn j n en fonction du reste de la division de n par B Calculer de deux façons di érentes An j n Bn j n et Cn n En considérant An Bn Cn déterminer n en fonction k k n de n et cos n ? Déterminer de même n k k n Étude d'une fonction On considère la fonction f C dé nie par f x ln x x C Déterminer le domaine de dé nition de f Montrer que ??u ?? R ? u ?? u ln u u Déduire du résultat précédent la limite de f en f Nous admettrons que a la même limite en ?? Montrer que ??u ?? R ln u ?? uDéterminer précisément la limite de f en ? C Justi er que f est dérivable et calculer f Faire le tableau de variation de f en faisant éventuellement intervenir une fonction auxiliaire bien choisie Exercice théorique Cet exercice aura un barème plus faible que les autres ne l'abordez que si vous avez fait tout ce que vous pouvez dans les autres exercices La notation prendra particulièrement en compte la précision de la C rédaction Soit f une application dé nie sur R on se propose de montrer qu'il existe un unique couple d'applications g h tel que g est paire h est impaire et f g h B Montrer que la di érence de deux applications paires est paire On admettra que ce résultat est encore vrai pour les applications impaires C Déterminer l'ensemble des applications dé nies sur R qui sont à la fois paire et impaire En déduire l'unicité du couple g h On suppose que le couple g h existe exprimer g x et h x en fonction de f x et f ??x En déduire l'existence du couple g h C