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Equations differentielles lineaires du second ordre resolution explicite

Résolution explicite Equations di ?érentielles linéaires du second ordre Une équation di ?érentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue dans laquelle intervient sa dérivée seconde Sa forme la plus générale est On n'étudiera ici qu'un type particulier d'équations les équations linéaires à coe ?cients constants Equations linéaires homogènes du second ordre à coe ?cients constants Il s'agit des équations de la forme avec réels a non nul On les appelle aussi équation sans second membre Espace des solutions Espace des solutions La fonction nulle est une solution de de plus si et sont deux solutions de et et des réels quelconques la fonction est encore une solution en d'autres termes l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel sur c'est en fait un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions de dans On peut montrer que cet espace est toujours de dimension Si on conna? t deux solutions et non nulles et non proportionnelles les fonctions représentent donc toutes les solutions Dire que et ne sont pas proportionnelles veut dire qu'il n'existe pas de constante réelle tel que pour tout En termes d'espace vectoriel cela signi ?e que et sont linéairemnt indépendantes donc puisque l'espace des solutions est de dimension elles en forment une base Expression des solutions On associe à l'équation di ?érentielle l'équation non di ?érentielle du second degré On l'appelle équation caractéristique de l'équation l'expression des solutions de dépend du type des racines de Dans chaque cas les solutions dépendent de deux constantes arbitraires et CSi l'équation admet deux racines réelles distinctes et les solutions de s'écrivent Véri ?ons d'abord que est solution de On a et donc De même est aussi une solution Pour montrer que et engendrent toutes les solutions il su ?t de montrer qu'elles ne sont pas proportionnelles c'est à dire qu'il n'existe pas de constante telle que pour tout Si c'était le cas le rapport serait constant ce qui est faux Si l'équation admet deux racines complexes non réelles ces racines sont conjuguées et s'écrivent Les solutions de sont dans ce cas On peut aussi les écrire o? et sont des constantes arbitraires On sait que est solution de donc et imaginaires on trouve en séparant les parties réelles Véri ?ons que on trouve et est solution de Donc De même est solution de les fonctions et n'étant pas proportionnelles si c'était le cas elles s'annuleraient en même temps elles engendrent toutes les solutions de Si l'équation admet une racine double nécessairement réelle les solutions sont Comme les fonctions et ne sont pas proportionnelles il su ?t de véri ?er que chacune est solution de pour en déduire qu'elles engendrent toutes les solutions Véri ?ons que est solution de Con a et donc a Véri ?ons maintenant que Puisque est une racine double on a D'autre part on trouve est aussi solution de et donc Si l'équation admet deux racines complexes non réelles ces racines sont conjuguées et s'écrivent Les solutions de sont dans ce cas On peut