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Exam1 probas09 Université de Picardie Jules Verne Licence de Mathématiques L Examen ère session- juin - heures Année - Probabilités La précision et la rigueur de la rédaction seront déterminantes pour la correction de cette épreuve Vous pouvez démontrer p

Université de Picardie Jules Verne Licence de Mathématiques L Examen ère session- juin - heures Année - Probabilités La précision et la rigueur de la rédaction seront déterminantes pour la correction de cette épreuve Vous pouvez démontrer partiellement certaines questions et ou utiliser des résultats de questions intermédiaires que vous ne savez pas démontrer mais vous devrez dans ce cas préciser clairement ce qui est admis Le barême est seulement indicatif et pourra être modi ?é Exercice Question de cours-TD points a Énoncer le théorème de Borel- Cantelli b Donner un exemple d ? espace de probabilité A P et d ? une suite An n ??N ?? AN d ? ensembles mesurables tels que n ??N P An ? et P lim supn ? ? An c Soit Xn n ??N une suite indépendante de variables aléatoires de Bernoulli de paramètres n Montrer que Xn n ??N converge en probabilité mais pas presque surement Exercice Exercice fait en TD points Le but de l ? exercice est de fournir une démonstration probabiliste de la formule de Stirling Soit Xn n ??N une suite de variables aléatoires réelles de loi de Poisson de paramètre n Soit Zn Xn ?? ?? n On note Z une variable aléatoire réelle de loi normale N n Première partie - Rappels sur des lois classiquesLa justi ?cation des résultats des questions b et e - et de ces questions uniquement - n ? est pas indispensable s ? ils sont corrects a Déterminer la loi de Poisson de paramètre ? b Soit A une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre ? Donner son espérance sa variance et sa fonction caractéristique c Soient A et B deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs ? et Décrire la loi de A B d Déterminer la loi normale N e Donner l ? espérance la variance et la fonction caractéristique d ? une variable aléatoire de loi N Deuxième partie f On note Zn max Zn et Z max Z Démontrer que ? ? E Zn P Zn t dt et E Z P Z t dt g Rappeler la dé ?nition de la convergence en loi h Démontrer que la suite Zn n ??N converge en loi vers Z i En déduire que P Zn t ? P Z t pour tout réel t ? j Montrer que ? ? P Zn t dt ? P Z t dt quand k En déduire l ? équivalent asymptotique de Stirling n ? ? CExercice points On appelle loi exponentielle symétrique de paramètre ? la loi sur R de densité f ? x ?? R ? ? e ?? ? x On appelle loi de Cauchy sur R de paramètre c la loi de densité hc x ? c ? x c a Soit X une variable aléatoire réelle de loi exponentielle symétrique de paramètre ? Calculer sa fonction caractéristique b Soit Y une variable aléatoire réelle de loi de Cauchy de