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Exam procal dec11 Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les points sont donn ?es atitre indicatif Po

Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les points sont donn ?es atitre indicatif Pour obtenir points il est demand ?e de r ?esoudre les exercices et et au choix soit le probleme I soit le probleme II Exercice points On suppose que les ?etoiles ?lantes apparaissent dans le ciel d ? une ville selon un processus de Poisson avec un taux de ? ?etoiles ?lantes par nuit Quelle est la probabilit ?e qu ? on observe une ?etoile ?lante lundi et deux ?etoiles ?lantes pendant le reste de la semaine entre mardi et dimanche Donner la probabilit ?e d ? observer une ?etoile ?lante mardi sachant qu ? on a observ ?e une ?etoile ?lante lundi Sachant qu ? on a observ ?e ?etoiles ?lantes durant le mois d ? avril jours quelle est la probabilit ?e d ? avoir observ ?e moins de deux ?etoiles ?lantes durant les premiers jours Combien de nuits faut-il attendre en moyenne pour observer ?etoiles ?lantes Exercice points On considere une cha ne de Markov sur X dont les seules probabilit ?es de transition non nulles sont indiqu ?ees par des eches sur la ?gure suivante D ?eterminer les probabilit ?es de transition de telle mani ere que la cha ne soit r ?eversible et admette la distribution stationnaire ? La cha ne ainsi construite est-elle irr ?eductible Est-elle r ?eguli ere On note P la matrice de transition D ?eterminer lim P n n ? ? C Exercice points On consid ere un processus de sauts markovien Xt sur X de g ?en ?erateur in ?nit ?esimal F EB F F ?? L F EC F EC F ED ?? ?? F F F F F F ?? Repr ?esenter le processus de sauts sous forme de graphe D ?eterminer la distribution stationnaire du processus Le processus Xt est-il irr ?eductible Le processus Xt est-il r ?eversible Probleme I points Le but du probleme est de comparer deux types de ?les d ? attente adeux serveurs Dans le premier cas les clients forment une seule ?le et choisissent le premier serveur qui se libere ?le M M On suppose que les clients arrivent selon un processus de Poisson de taux ? et qu ? ils sont servis pendant un temps exponentiel de param etre ? ? ? ? D ?eterminer la distribution stationnaire ? de la ?le Quelle est la probabilit ?e qu ? un client ne doive pas attendre avant d ? etre servi Quel est le temps d ? attente moyen avant d ? etre servi Soit S le nombre de serveurs occup ?es D ?eterminer E ? S Dans le second cas il y a une ?le distincte devant chaque serveur Les clients choisissent une ?le ou l ? autre avec probabilit ?e ? ? ? ? ? Expliquer pourquoi du