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Exercices corrige topologie

Module TOPOLOGIE Professeur M R HILALI Filière SMA Semestre - Exercice Topologie Soient an et bn deux suites réelles croissantes de limite in ?nie On suppose que nli m an an Soit E fan bm n m N g a Prouver que E est dense dans R b Application montrer que la suite cos ln n n est dense dans Exercice Soit N R R dé ?nie par jx tyj N x y sup t R t t a Véri ?er que N est bien dé ?nie b N est-elle une norme Exercice Soit E le R-espace vectoriel E C R muni de la norme de la convergence uniforme Montrer que l ? application de E dans E qui à f associe ef est continue Exercice Soit E un R-espace vectoriel normé et f E E véri ?ant x y E kf x y f x f y k M a Montrer que si M et si f est bornée sur un ouvert non vide alors f est linéaire et continue b On suppose f continue et E complet En étudiant la suite gn x nf nx montrer que f se décompose de manière unique en somme d ? une fonction linéaire et d ? une fonction bornée Exercice Soit Ep fA Mn R j Rg A pg Ep est-il i ouvert ii fermé iii dense dans Mn R Exercice C Soit A E o? E est un espace vectoriel normé on note u A A et v A A a Montrer que u et v sont des applications de P E dans lui même qui respectent l ? inclusion b Montrer aussi que u u et v v c En déduire que à partir d ? un ensemble A E en prenant successivement l ? adhérence et l ? intérieur ou le contraire on ne peut avoir au maximum que ensembles distincts Exercice Soit E C R muni des rationnels de On de la pose norme in ?nie P L f n kk et nf qn qn n pour une énumération f E a Prouver que L est une forme linéaire continue sur E b Montrer que sup jL f j n ? est pas atteint kf k Exercice Soit E le R espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme in ?nie k un nk supfjunj n Ng On note F le sous-espace P vectoriel de E des suites de suites un n véri ?ant junj muni n P de la norme k un nk junj n P a Si un n E et vn n F prouver que unvn est absolument convergente P b On dé ?nit fv un n E unvn R o? v désigne la suite vn n de F Montrer que fv appartient au dual fort E de E i e l ? ensemble des formes linéaires continues sur E c Trouver ' une isométrie bijective de F sur E Exercice Soit E le R espace vectoriel des suites réelles bornées muni