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Exos groupes agreg Agr ?egation de Math ?ematiques Exercices sur les groupes P HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants A Bouvier D Richard Groupes - S Francinou H Gianela Exercices de math ?ematiques pour l ? agr ?e

Agr ?egation de Math ?ematiques Exercices sur les groupes P HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants A Bouvier D Richard Groupes - S Francinou H Gianela Exercices de math ?ematiques pour l ? agr ?egation Algebre - R Goblot themes de g ?eom ?etrie agr ?egation de math ?ematiques - E Leichtnam X Schaeur Exercices corrig ?es de math ?ematiques pos ?es a l ? oral des concours de polytechnique et des ?ecoles normales sup ?erieures tome - R Mneimn ?e El ?ements de g ?eom ?etrie actions de groupes - D Perrin Cours d ? Algebre - E Ramis C Deschamp J Odoux Cours de math ?ematiques sp ?eciales tome - E Ramis C Deschamp J Odoux Algebre exercices avec solutions Les ?enonc ?es donn ?es ici sont souvent beaucoup plus d ?etaill ?es que ceux que l ? on que trouve dans les livres les indications sont mentionn ?ees entre Les exercices les plus di ?ciles sont rep ?er ?es par une ? et ceux qui font partie int ?egrante du cours par un Il est n ?ecessaire de faire tous les exercices de la section qui sont tres ?el ?ementaires avant de chercher les autres Lorsque ce n ? est pas pr ?ecis ?e les groupes sont not ?es multiplicativement et la loi est e est l ? ?el ?ement neutre du groupe Propri ?et ?es ?el ?ementaires des groupes Exercice Construire a isomorphisme pres les groupes a n ?el ?ements pour ? n ? Exercice Soit G un groupe et H une partie ?nie non vide de G stable pour la loi montrer que H est un sous-groupe de G Exercice Soit G un groupe ?ni de cardinal n et m un entier premier avec n Montrer que pour tout y ?el ?ement de G il existe un unique x ?el ?ement de G tel que xm y Utiliser le th ?eoreme de Bezout Exercice Soit G un groupe ?ni de cardinal n On suppose que tout x ?el ?ement de G satisfait l ? ?egalit ?e x e C Montrer que G est un groupe commutatif Soit A a ap une partie g ?en ?eratrice de G montrer que ??x ?? G ?? p ?? ZZ ZZ p tels que x a a p On suppose dans les questions suivantes que A est une partie g ?en ?eratrice de cardinal minimum p Montrer que l ? ?ecriture x a a p est unique Soit l ? application d ?e ?nie par G ? ZZ ZZ p x ? p Montrer que est bien d ?e ?nie et que c ? est un isomorphisme de groupes En d ?eduire que le cardinal de G est p Exercice Soit p un nombre premier ?x ?e soit Up exp i ?a p a ? ?? ZZ PGCD a p ?? IN Montrer que Up est un groupe in ?ni dont tous les ?el ?ements sont d ? ordre ?ni Trouver l ?