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Fiche 8 M Universite ? Paris ??Sud Centre d ? Orsay Mathe ?matiques Fondamentales et Applique ?es MFA D MA MAO Option calcul scienti ?que Anne ?e ?? TP Quelques me ?thodes de re ?solution de syste mes line ?aires Ce TP porte sur les me ?thodes de re ?solu

M Universite ? Paris ??Sud Centre d ? Orsay Mathe ?matiques Fondamentales et Applique ?es MFA D MA MAO Option calcul scienti ?que Anne ?e ?? TP Quelques me ?thodes de re ?solution de syste mes line ?aires Ce TP porte sur les me ?thodes de re ?solution des systemes line ?aires Les matrices utilise ?es seront celles obtenues par discre ?tisation par diffe ?rences ?nis du Laplacien les matrices obtenues par une discre ?tisation par e ?le ?ments ?nis sont aussi valables ou des matrices ge ?ne ?re ?es ale ?atoirement satisfaisant certaines proprie ?te ?s particulieres syme ?trie de ? ?nie positive etc On joint acet effet des scripts MATLAB pour la discre ?tisation par diffe ?rences ?nies du Laplacien en D et D et pour la ge ?ne ?ration ale ?atoire des matrices de proprie ?te ?s particulieres Cette ?che est constitue ?e de parties dont la partie est un e ?le ?ment de re ?ponse a la partie PARTIE - Me ?thodes directes Exercice - Me ?thode de re ?solution par la factorisation LU Algorithme de re ?solution de systemes triangulaires inf ?erieures a gauche et sup ?erieures a droite ALGORITHME DE DESCENTE ALGORITHME DE REMONTEE Donn ?ees A b Re ?sultat x solution de A x b Donne ?es A b Re ?sultat x solution de A x b ------------------------------------------- ------------------------------------------- pour i a n pour i n a s s pour j a i- pour j i a n s s A i j x j s s A i j x j ?n j ?n x i b i - s A i i x i b i - s A i i ?n ?n Q - E ? crire une une fonction MATLAB de prototype function x Descente A b qui re ?sout un syste me line ?aire triangulaire infe ?rieure Ax b Tester la fonction en ge ?ne ?rant ale ?atoirement des matrices triangulaires infe ?rieures inversibles voir ci-dessus de tailles n et en e ?ectuant b rand n norm b - Descente A A b Q - Me me question pour les matrices triangulaires supe ?rieures inversibles La fonction aura pour prototype function x Remontee A b Q - E ? crire une fonction MATLAB de prototype function L U decompLU A qui e ?ectue la de ?composition LU d ? une matrice carre ?e Algorithme de d ?ecomposition A LU Donne ?e A R ?esultat U triangulaire sup ?erieure Explications des notations et indications L triangulaire inf ?erieure diagonale unite ? ------------------------------------------- ----------------------------------------------- pour k a n introduit un commentaire pour i k a n A i k A i k A k k pour j k a n A i j A i j -A i k A k j ?n ?n ?n Commande MATLAB pour re ?cupe ?rer L et U R ?ecup ?erer L et U a partir de A U triu A L A - U diag ones n CF EE F F ?? Q