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´ Ecole Nationale Polytechnique D´ epartement du g´ enie chimique Devoir maison

´ Ecole Nationale Polytechnique D´ epartement du g´ enie chimique Devoir maison N◦3 Transfert de mati` ere Enseignement ` a distance 2019 - 2020 ´ Elabor´ e par: • Houssem Eddine Kafi Remarque Pour ce devoir maison, je me suis inspir´ e d’un exercice qui ﬁgure dans notre s´ erie d’exercice sur les EDP en analyse math´ ematique 4, le probl` eme est relativement le mˆ eme si ce n’est les conditions aux limites qui changent. Je m’en suis surtout inspir´ e pour une donn´ ee sans laquelle je ne pouvais avancer dans le d´ eveloppement math´ ematique, elle est encadr´ ee en rouge dans la photo suivante: Le probl` eme r´ eside en la r´ esolution du probl` eme suivant:                ∂C ∂z = a2∂2C ∂x2 avec a = rDA Vz C(o, z) = CAi C(x, 0) = CAe Pour ce faire, je vais utiliser la m´ ethode de la r´ esolution des EDPs par la transform´ ee de Fourier mais avant je vais introduire quelques r´ esultats dont j’aurais besoin par la suite: sin(τω)sin(ωx) = 1 2{cos[ω(τ −x)] −cos[ω(τ + x)] (p) Z ∞ 0 e−αω2cos(ωx)dw = π 2√παe−x2 4α (:) Z ∞ 0 sin(ωx) ω dw = π 2 (L) le r´ esultat : est celui encadr´ e en rouge dans la photo. Proc´ edons maintenant ` a la transformation du probl` eme suivant en utilisant la transformation de Fourier en sinus Fs(f) = Fs(ω) = R ∞ 0 f(x)sin(ωx)dx qui a pour propri´ et´ e: Fs(∂2f(x, z) ∂x2 ) = −ω2Fs(w) + wf(0, z): Fs(∂2C(x, z) ∂x2 ) = −ω2Cs(w) + wC(0, z) = −ω2Cs(w, z) + wCAi Fs(∂C(x, z) ∂z ) = ∂ ∂z Z ∞ 0 C(x, z)sin(ωx)dx = ∂Cs(w, z) ∂z = C′ s(w, z) Ce qui nous m` ene d’une EDP -probl` eme pr´ ec` edent- ` a une EDO avec second membre -probl` eme suivant-:    C′ s = −a2ω2Cs + a2ωCAi Cs(ω, 0) = Φ(w) = CAe R ∞ 0 sin(ωx)dx 2 L’EDO suivante poss` ede un second membre, cherchons en premier la solution g´ en´ erale: C′ s = −a2ω2Cs ∂Cs Cs = −a2ω2∂z ln(Cs) = −a2ω2z + A(ω) Cs(ω, z) = A(w)e−a2ω2z mais vu que Cs(ω, 0) = Φ(w) alors Cs(ω, z) = φ(w)e−a2ω2z. Solution particuli` ere: On remarque que Cs(ω, z) = CAi ω est une solution particuli` ere de l’EDO. La solution ﬁnale de notre probl` eme transform´ e est donc : Cs(ω, z) = φ(w)e−a2ω2z + CAi ω Maintenant qu’on poss` ede la solution du probl` eme transform´ e, nous devons revenir aux probl` eme initial en utilisant la transform´ ee de Fourier en sinus inverse: C(x, z) = 2 π Z ∞ 0 Cs(ω, z)sin(ωx)dω = 2 π Z ∞ 0 φ(w)e−a2ω2zsin(ωx)dω + 2 π Z ∞ 0 CAi sin(ωx) ω dw On utilise le r´ esultat (L) et on introduit l’expression de φ(w) en prenant le soin de changer la variable muette d’int´ egration aﬁn qu’elle n’aﬀecte pas le d´ eveloppement: C(x, z) = 2 π Z ∞ 0 [CAe Z ∞ 0 sin(ωτ)dτ]e−a2ω2zsin(ωx)dω + 2 π · CAi · π 2 = 2 π Z ∞ 0 Z ∞ 0 CAee−a2ω2zsin(ωτ)sin(ωx)dτdω + CAi En utilisant maintenant le r´ esultat (p) on a: C(x, z) = CAe π R ∞ 0 dτ R ∞ 0 e−a2ω2zcos[ω(τ −x)] −e−a2ω2zcos[ω(τ + x)]dω + CAi Enﬁn on utilise le r´ esultat (:): C(x, y) = CAe 2 √ πa2z R ∞ 0 e−(τ−x) 4a2z −e−(τ+x) 4a2z dτ + CAi C(x, y) = CAe 2 √ πa2z R ∞ 0 e−( (τ−x) 4a√z )2 −e−( (τ+x) 4a√z )2dτ + CAi C(x, y) = CAe 2 √ πa2z (I1 −I2) + CAi tel que I1 = R ∞ 0 e−( (τ−x) 4a√z )2 et I2 = e−( (τ+x) 4a√z )2. On proc` ede maintenant ` a un changement de variable, pour I1 en posant y = τ −x 2a√z tel que dy = dτ 2a√z et pour I2 en posant t = τ + x 2a√z tel que dt = dτ 2a√z De ce fait: 3 C(x, z) = 2a√z 2 √ πa2z CAe[ R ∞ −x 2a√z e−y2dy − R ∞ x 2a√z e−t2dt] + CAi C(x, z) = CAe √π R x 2a√z −x 2a√z e−y2dy + CAi Mais vu que la fonction e−y2 est paire alors: C(x, z) = 2CAe √π R x 2a√z 0 e−y2dy + CAi En posant U = x 2a√z = x 2 rDAz Vz : C(x, z) = CAe[ 2 √π R U 0 e−y2dy] + CAi C(x,z)=CAeerf(U) + CAi Donc: CA = CAeerf(U) + CAi CA −CAe = (1 −erf(U))CAe + CAi Voil` a le r´ esultat le plus proche de celui du cours auquel j’ai pu arriver. Il ne correspond pas tout ` a fait ` a celui du cours, mais c’est tout ce que j’ai pu faire. J’aimerai bien savoir o` u r´ esident les potentielles fautes que j’ai commises. 4 uploads/Marketing/ devoir-maison-n-3-transfert-de-matiere.pdf