Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE Nous étudierons ce chapitre en parallèle de l’annexe « Raisonner, rédiger », qui contient à bien des égards les enseigne- ments les plus importants de l’année. 1 CONNECTEURS LOGIQUES ET QUANTIFICATEURS • On appelle proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : « p est-elle vraie ? » La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple, « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas, la question « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens. • La valeur de vérité d’une proposition est le vrai (V) ou le faux (F) — mais pas les deux. Deux propositions de même valeur de vérité sont dites équivalentes. Pour démontrer une proposition p, vous n’êtes pas obligés de démontrer p elle-même, vous pouvez démontrer n’importe quelle proposition équivalente. Exemple « Socrate n’est pas immortel » et « Socrate est mortel » sont deux propositions équivalentes. Démontrer l’une, c’est démontrer l’autre. • À partir des propositions « J’ai faim » et « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition « J’ai faim ET (j’ai) soif ». Plus généralement, nous appellerons connecteur logique tout procédé de construction d’une proposition à partir d’une ou de plusieurs autres propositions. Exemples courants : « et », « ou », « si, alors », « parce que »... p V V F F q V F V F p et q V F F F • Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Pour savoir, par exemple, si la proposition « p et q » est vraie, on n’a pas besoin de savoir exactement ce que cachent p et q — leur signification — on a juste besoin de connaître leurs valeurs de vérité respectives. Si les deux sont vraies, « p et q » est vraie, et si l’une est fausse, « p et q » est fausse. On peut résumer cela comme ci-contre au moyen d’une table de vérité. En mathématiques, les connecteurs logiques utilisés sont tous vérifonctionnels. • Pour votre culture, remarquez bien que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels. C’est le cas du connecteur « parce que ». Imaginez un contexte dans lequel il est vrai que « Je me suis dépêché parce que j’étais en retard ». Les deux propositions « Je suis en retard » et « Je me suis dépêché » sont vraies. Pourtant, si on remplace « J’étais en retard » par « La glace est un solide » — proposition également vraie — la nouvelle proposition « Je me suis dépêché parce que la glace est un solide » est fausse. Or, si « parce que » était vérifonctionnel, cette proposition serait aussi vraie que celle dont nous sommes partis. 1.1 NÉGATION, CONJONCTION, DISJONCTION Définition (Négation, conjonction, disjonction) p V F non p F V p V V F F q V F V F p et q V F F F p ou q V V V F • La proposition « non p » est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie. • La proposition « p et q » est vraie si p et q sont vraies toutes les deux et fausse sinon. • La proposition « p ou q » est vraie si l’une AU MOINS des propositions p et q est vraie (éventuellement les deux, donc) et fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI $ ATTENTION ! $ Dans le langage usuel, « ou » oppose parfois les termes qu’il relie. Dans l’expression « fromage ou dessert » des menus des restaurants, « ou » est exclusif car il exclut la possibilité qu’on choisisse les deux — vous pouvez toujours essayer ! En mathématiques, « ou » est toujours inclusif, « p ou q » est vraie même quand p ET q sont vraies. Théorème (Double négation, négation d’une conjonction/disjonction) • Les propositions p et « non (non p) » sont équivalentes. • Les propositions « non (p et q) » et « (non p) ou (non q) » sont équivalentes. • Les propositions « non (p ou q) » et « (non p) et (non q) » sont équivalentes. Démonstration p V F non p F V non (non p) V F Colonnes identiques p V V F F q V F V F non p F F V V non q F V F V p et q V F F F non (p et q) F V V V (non p) ou (non q) F V V V p ou q V V V F non (p ou q) F F F V (non p) et (non q) F F F V Colonnes identiques Colonnes identiques Exemple « On n’a qu’à prendre un pot de vanille et un pot de chocolat, je suppose que p ou q z }| { tu aimes l’un des deux parfums ? » « Justement non, je n’aime ni l’un ni l’autre | {z } Négation : (non p) et (non q) . » 1.2 IMPLICATION, ÉQUIVALENCE Définition (Implication, équivalence) p V V F F q V F V F p =⇒q V F V V p ⇐⇒q V F F V • La proposition « p =⇒q », qu’on lit « p implique q » ou « si p, alors q », est fausse dans le seul cas où p est vraie et q fausse. On appelle p son antécédent et q son conséquent. • La proposition « p ⇐⇒q », qu’on lit « p si et seulement si q » ou « p et q sont équivalentes », est vraie si p et q ont la même valeur de vérité, et fausse sinon.  Explication  Un petit point de vocabulaire. • On dit que q est une condition nécessaire pour que p soit vraie si lorsque p est vraie, q l’est aussi nécessairement, forcément, obligatoirement — autrement dit si l’implication « p =⇒q » est vraie. • On dit que q est une condition suffisante pour que p soit vraie s’il suffit que q soit vraie pour que p le soit aussi — autrement dit si l’implication « q =⇒p » est vraie. $ ATTENTION ! $ • Affirmer que « p =⇒q » est vraie n’implique ni que p est vraie, ni que q est vraie. Il est parfaitement vrai que « Si Pinocchio est président de la République, alors il est chef des armées », et pourtant Pinocchio n’est pas plus président de la République qu’il n’est chef des armées. • Une implication « p =⇒q » peut être vraie alors que p et q n’ont rien de commun, car après tout seules leurs valeurs de vérité comptent — vérifonctionnalité oblige. Par exemple il est vrai que « Si 0 = 0, alors les oiseaux ont des plumes ». Il en résulte, au contraire de ce que vous croyez sans doute, que l’implication n’a rien à voir avec la causalité du connecteur « parce que ». Dans « p =⇒q », p n’est pas la cause de q, pas du tout. La proposition « S’il y a de la fumée, alors il y a du feu » est vraie, par exemple, et pourtant c’est le feu la cause et la fumée l’effet. • L’implication « p =⇒q » est toujours vraie quand p est fausse. Par exemple il est vrai que « Si 0 ̸= 0, alors 0 = 0 ». 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI p V V F F q V F V F p =⇒q V F V V q V F V F p ⇐⇒q V F F V p et q V F F F  Explication  Les exemples précédents peuvent donner l’impression légi- time que l’implication a été mal définie ci-dessus, et pourtant non. Avions-nous le choix en réalité ? Seules les deux dernières lignes « p est fausse » de la table de vérité de l’implication nous dérangent. Le tableau ci-dessous montre que tout autre choix pour ces lignes nous aurait ramené à un autre connecteur de sens différent. Définition (Réciproque, contraposée) • On appelle réciproque de l’implication « p =⇒q » la proposition « q =⇒p ». • On appelle contraposée de l’implication « p =⇒q » la proposition « (non q) =⇒(non p) ». $ ATTENTION ! $ Dans une contraposée, on ajoute certes des négations, mais on PERMUTE aussi les deux propositions. Théorème (Règles de calcul sur l’implication et l’équivalence) • Les propositions « p =⇒q » et « (non p) ou q » sont équivalentes. Par négation, les propositions « non (p =⇒q) » et « p et (non q) » uploads/Philosophie/ algebre-lineaire.pdf

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Philosophieproposition vraie propositions exemple l’ensemble
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