Nom: Calculadora: Matem` atiques 3 Curs 2015-2016/Q2 - Primer Parcial. 30/03/16

Nom: Calculadora: Matem` atiques 3 Curs 2015-2016/Q2 - Primer Parcial. 30/03/16 Grup M1 – Professor/a: N´ uria Par´ es PELS C` ALCULS UTILITZEU TOTS els decimals de la calculadora (o les tecles de mem` oria) [Compet` encia Gen` erica - 5% de la nota final de l’assignatura] a) Considereu la funci´ o f(x) = cos(x) i les aproximacions inicials x0 = 1 i x1 = 2. Feu una iteraci´ o del m` etode de la secant per calcular x2. b) Considereu la funci´ o f(x) que verifica que f(0) = 2, f(2) = 4 i f(5) = −2. Aproximeu f(x) mitjan¸ cant un spline lineal. Retorneu l’expressi´ o de S(x) per a x ∈[0, 5] el m´ es simplificada possible. Utilitzant aquest spline, calculeu una aproximaci´ o de f(3). Resultats: a) x2= b) S(x) =    , 0 ≤x ≤2 , 2 ≤x ≤5 f(3) ≈ Nom: 1. [3.25 punts] Considereu la funci´ o f(x) = e−x −sin(x). a) [2 punts] Feu tres iteracions del m` etode de Newton prenent com a aproximaci´ o inicial x0 = 0.5 i calculeu l’error absolut aproximat associat a l’aproximaci´ o x2 en valor absolut. b) [0.5 punts] Calculeu l’ordre de converg` encia aproximat del m` etode utilitzant els errors absoluts aproxi- mats de les aproximacions x0, x1 i x2? Comenteu els resultats obtinguts. c) [0.75 punts] Apliqueu el m` etode de Newton prenent com a aproximaci´ o inicial x0 = 1.7461. Comenteu els resultats obtinguts. Resultats: a) x3= | ˜ E2| = b) ˜ p1 ≈ ˜ p2 ≈ Comentari sobre els resultats obtinguts: c) x1= Comentari sobre els resultats obtinguts: Nom: 2. [3.25 punts] Denotem per I = Z 1 0 x3dx. Responeu les seg¨ uents preguntes: a) [1.5 punts] Aproximeu la integral I amb el m` etode de Trapezi compost amb n = 4. Calculeu l’error absolut exacte que cometem en l’aproximaci´ o (calculant el valor exacte de la integral). b) [0.5 punts] Utilitzant el resultat de l’apartat a), feu una predicci´ o de l’error (en valor absolut) que cometr´ ıem a l’aproximar I utilitzant el m` etode del Trapezi compostos amb n = 8 i n = 40. c) [0.5 punt] Aproximeu I amb el m` etode de Simpson compost amb n = 10000. Ajuda: Aquest apartat no requereix fer m´ es c` alculs que els fets en l’apartat a) Es considera el seg¨ uent m` etode d’integraci´ o en l’interval [−1, 1] Z 1 −1 f(x)dx ≈w1f(−1/ √ 3) + w2f(1/ √ 3) on w1 i w2 s´ on dos par` ametres a determinar. Aquests par` ametres es calculen imposant que el m` etode integri exactament els dos polinomis f(x) = 1 i x. d) [0.5 punt] Calculeu qui han de ser w1, w2 perqu` e aix` o es cumpleixi. e) [0.25 punt] Quin ´ es l’ordre d’integraci´ o d’aquest m` etode? Resultats: a) IT = error ET = b) predicci´ o error n = 8: predicci´ o error n = 40: c) IS = d) w1 = w2 = e) ordre d’integraci´ o = Nom: 3. [3.5 punts] En un experiment s’han obtingut les dades seg¨ uents: x 0 2 4 v(x) -0.47 0.99 -0.75 a) [1 punt] Aproximeu v(x) utilitzant interpolaci´ o polin` omica pura. Simplifiqueu el resultat. b) [1 punt] Aproximeu v(x) per una recta r(x) utilitzant el criteri de m´ ınims quadrats. c) [1 punt] Aproximeu v(x) per una funci´ o de la forma h(x) = A sin(x)+B cos(x) utilitzant m´ ınims quadrats. d) [0.5 punt] Calculeu l’error quadr` atic associat a les aproximacions r(x) i h(x). Basat en els valors obstin- guts, raoneu quina de les dues aproximacions ´ es millor. Resultats: a) p(x) = b) r(x) = c) Sistema d’equacions que cal resoldre per determinar A i B      A B  =       h(x) = d) EQr = EQh = Comentari sobre els resultats obtinguts: Nom: Calculadora: Matem` atiques 3 Curs 2015-2016/Q2 - Primer Parcial. 30/03/16 Grup M1 – Professor/a: N´ uria Par´ es PELS C` ALCULS UTILITZEU TOTS els decimals de la calculadora (o les tecles de mem` oria) [Compet` encia Gen` erica - 5% de la nota final de l’assignatura] a) Considereu la funci´ o f(x) = cos(x) i les aproximacions inicials x0 = 1 i x1 = 2. Feu una iteraci´ o del m` etode de la secant per calcular x2. b) Considereu la funci´ o f(x) que verifica que f(0) = 2, f(2) = 4 i f(5) = −2. Aproximeu f(x) mitjan¸ cant un spline lineal. Retorneu l’expressi´ o de S(x) per a x ∈[0, 5] el m´ es simplificada possible. Utilitzant aquest spline, calculeu una aproximaci´ o de f(3). Resultats: a) x2= 1.564904376 b) S(x) =    2 + x , 0 ≤x ≤2 8 −2x , 2 ≤x ≤5 f(3) ≈2 Apartat a) Donades les aproximacions x0 i x1, el m` etode de la secant calcula la nova aproximaci´ o x2 segons x2 = x1 −f(x1) s1 on s1 = f(x1) −f(x0) x1 −x0 . Per tant: s1 = cos(x1) −cos(x0) x1 −x0 = cos(2) −cos(1) ≈−0.9564491424 x2 = 2 − cos(2) cos(2) −cos(1) ≈1.564904376 Apartat b) El c` alcul de l’spline lineal es redueix a fer una aproximaci´ o lineal a trossos, ´ es a dir, en els subintervals [0, 2] i [2, 5] fem una interpolaci´ o polin` omica pura de grau 1. Aquestes interpolacions les farem utilitzant polinomis de Lagrange. x ∈[0, 2] Considerem L0(x) i L1(x) els polinomis de Lagrange de grau 1 associats als punts x0 = 0 i x1 = 2, llavors S0(x) = f(0)L0(x) + f(1)L1(x) = 2 · x −2 0 −2 + 4 · x 2 = −(x −2) + 2x = 2 + x x ∈[2, 5] Considerem L0(x) i L1(x) els polinomis de Lagrange de grau 1 associats als punts x0 = 2 i x1 = 5, llavors S1(x) = f(2)L0(x) + f(5)L1(x) = 4 · x −5 2 −5 −2 · x −2 5 −2 = −4 3(x −5) −2 3(x −2) = 8 −2x Per tant: S(x) =    2 + x , 0 ≤x ≤2 8 −2x , 2 ≤x ≤5 Addicionalment, f(3) ≈S(3) = S1(3) = 8 −2 · 3 = 2. Nom: 1. [3.25 punts] Considereu la funci´ o f(x) = e−x −sin(x). a) [2 punts] Feu tres iteracions del m` etode de Newton prenent com a aproximaci´ o inicial x0 = 0.5 i calculeu l’error absolut aproximat associat a l’aproximaci´ o x2 en valor absolut. b) [0.5 punts] Calculeu l’ordre de converg` encia aproximat del m` etode utilitzant els errors absoluts aproxi- mats de les aproximacions x0, x1 i x2? Comenteu els resultats obtinguts. c) [0.75 punts] Apliqueu el m` etode de Newton prenent com a aproximaci´ o inicial x0 = 1.7461. Comenteu els resultats obtinguts. Resultats: a) x3= 0.5885327440 | ˜ E2| = 0.0000033314 b) ˜ p1 ≈2.379607452 ˜ p2 ≈2.156646090 Comentari sobre els resultats obtinguts: En aquest cas, ˜ p1 i ˜ p2 s´ on valors propers a 2, per tant en aquest cas el m` etode de Newton t´ e la converg` encia est` andard per arrels simples (multiplicitat 1). c) x1= −17680.74616 Comentari sobre els resultats obtinguts: Observem que com que f ′(x0) = −0.0000458205 ´ es un valor proper a zero, la recta tangent ´ es pr` acticament horitzontal. Aix` o fa que la seg¨ uent iteraci´ o x1 divergeix fins al valor −17680.74616. Apartat a) El m` etode de Newton calcula les noves iteracions segons xk+1 = xk −f(xk) f ′(xk). En aquest cas, f ′(x) = −e−x −cos(x), i per tant: x1 = x0 −f(x0) f ′(x0) = 0.5 −0.1271051211 −1.484113222 = 0.5856438169 x2 = x1 −f(x1) f ′(x1) = 0.5856438169 −0.0040112773 −1.390103701 = 0.5885294126 x3 = x2 −f(x2) f ′(x2) = 0.5885294126 −0.0000046203 −1.386901029 = 0.5885327440. L’error relatiu aproximat associat a x2 ´ es: ˜ E2 = x3 −x2 x3 = 0.5885327440 −0.5885294126 0.5885327440 = 0.0000033314. Apartat b) L’ordre de converg` encia aproximat utilitzant els errors absoluts aproximats es calcula segons ˜ pk = log(|Ek|) log(|Ek−1|) on Ek = xk+1 −xk. Per tant tenim: E0 = x1 −x0 = 0.5856438169 −0.5 = 0.0856438169 E1 = x2 −x1 = 0.5885294126 −0.5856438169 = 0.0028855957 − →˜ p1 = log10(|E1|) log10(|E0|) = −5.848023919 −2.457558247 = 2.379607452 E2 = x3 −x2 = 0.5885327440 −0.5885294126 = 0.0000033314 − →˜ p2 = log10(|E2|) log10(|E1|) = −12.61211792 −5.848023919 = 2.156646090 Observem que en aquest cas, ˜ p1 i ˜ p2 s´ on valors propers a 2, per tant en aquest casl el m` etode de Newton t´ e la converg` encia est` andard per arrels simples (multiplicitat 1). Apartat c) En aquest cas tenim que: x1 = x0 −f(x0) f ′(x0) = 1.7461 −−0.8102206364 −0.0000458205 = −17680.74616 Observem que com que f ′(x0) = −0.0000458205 ´ es un valor proper a zero, la recta tangent ´ es pr` acticament horitzontal (vegeu la figura adjunta), i per tant la seg¨ uent iteraci´ o x1 uploads/Philosophie/1516-q2-exr-p1-mat3-m1-npm.pdf

• Détails
• Publié le Mai 15, 2022
• Catégorie Philosophy / Philo...
• Langue French
• Taille du fichier 0.1501MB