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mars 2020 CORRIGE II. Permutations sans répétitions et notation factorielle Ana

mars 2020 CORRIGE II. Permutations sans répétitions et notation factorielle Analyse combinatoire 4ème - 1 I. Introduction Les différents modèles mathématiques construits pour étudier les phénomènes où intervient le hasard sont basés sur la notion de probabilité. Celle-ci exige des dénombrements d’ensembles finis. C’est l’objet d’étude de l’analyse combinatoire. Toute suite d’éléments choisis parmi les éléments d’un ensemble fini peut être ordonnée ou non, selon que l’on tient compte ou non de la position occupée par les éléments. D'autre part, la suite peut être avec ou sans répétitions, selon qu'un même élément puisse être utilisé plusieurs ou une seule fois. Exemples ¾ Si on jette un dé, combien de résultats distincts sont-ils possibles ? ¾ Combien y a-t-il de « mains » différentes au poker ? ¾ Combien peut-on former d’anagrammes du mot « Analyse » ? ¾ De combien de façons peut-on choisir 4 personnes parmi 17 ? ¾ Combien existe-t-il de nombres compris entre 100 et 100'000 commençant par un chiffre impair et contenant des chiffres différents ? II. Permutations sans répétitions et notation factorielle Exercice II.1 a) De combien de manières différentes peut-on placer 5 personnes l'une à côté de l'autre ? b) Combien de nombres peut-on écrire en utilisant exactement une fois chacun des chiffres de 1 à 6 ? a) Il y a 5 choix pour la 1ère place, 4 choix pour la 2ème place, puis 3 choix, puis 2 puis 1 choix. Donc il y a 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 manières différentes de placer ces 5 personnes. b) Il y a 6 choix pour le premier chiffre, puis 5, puis 4, etc. jusqu'à 1 choix pour la dernière place. Donc il y a 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 nombres que l'on peut écrire de la manière demandée. Définition et formule On dispose de n objets distincts. Une permutation de n objets est une manière de placer ces n objets distincts sur une rangée. Le nombre de permutations de n objets est noté n P , et vaut : ( 1) ( 2) ... 3 2 1 n n n n P = ⋅ −⋅ − ⋅⋅⋅⋅ Explication Il y a n choix pour placer le 1er objet, n−1 pour le 2ème, 2 pour l'avant dernier et 1 pour le dernier. Remarque Deux permutations distinctes ne diffèrent que par l’ordre des objets les composant. Exercice II.2 a) Combien y a-t-il de possibilités d’aligner 12 élèves ? b) A raison de 10 secondes par permutations, combien de temps faudrait-il pour épuiser toutes les possibilités ? a) Il y a 12 12 11 ... 2 1 479'001'600 P = ⋅ ⋅ ⋅⋅= possibilités d'aligner ces 12 élèves. b) Il faudrait 4'790'016'000 151,786 3600 24 365,25 ≈ ⋅ ⋅ années pour épuiser toutes ces possibilités ! mars 2020 CORRIGE II. Permutations sans répétitions et notation factorielle Analyse combinatoire 4ème - 2 II.2 Notation factorielle Nous venons de voir que le produit ( 1) ( 2) ... 3 2 1 n n n ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅⋅ intervient naturellement dans le dénombrement du nombre de permutation de n objets. Ce produit intervient encore dans de nombreux dénombrements, donc la notation n! a été introduite pour le décrire. Le nombre n! se lit « n factorielle ». Donc ! ( 1) ( 2) ... 3 2 1 n n n n = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅⋅ Remarque La touche PRB de la calculatrice TI 34 ou TI 36 permet de calculer la factorielle d'un nombre, ainsi que deux autres grandeurs décrites dans les chapitres suivants. Exemples 5! 5 4 3 2 1 120 = ⋅⋅⋅⋅= 64 50! 50 49 ... 3 2 1 3,04140932 10 = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅≈ ⋅ Exercices II.3 a) 7! = 5'040 b) 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 90 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = = ⋅ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ c) 23! 23 22 21 20 19 ... 2 1 23 22 21 10'626 20! 20 19 ... 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ d) 20! 20 19 18 1'140 3! 17! 3 2 1 ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅⋅ e) Montrez que : ( ) ! 1 ! n n n = ⋅ − ( ) ( 1)! ! ( 1) ( 2) ... 2 1 1 ! n n n n n n n = − = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ = ⋅ − f) 69!≈1,711224524 ⋅ 1098 g) 70!≈70 ⋅ 1,711224524 ⋅ 1098 ≈ 0,7 ⋅ 1,711224524 ⋅ 10100 ≈ 1,197857167 ⋅ 10100 . La calculatrice ne sait pas calculer 70! , mais vous êtes plus intelligent que la calculatrice !?! h) Que devient la formule ( ) ! 1 ! n n n = ⋅ − dans le cas où n = 1 ? Justifiez la convention : 0! = 1. 1! 1 0! = ⋅ , pour que l'égalité soit correcte, il faut utiliser la convention 0! = 1. CORRIGE III. Arrangements sans répétition Analyse combinatoire 4ème - 3 III. Arrangements sans répétition Exercice III.1 Parmi les 9 cartes As de pique, jusqu'à 9 de pique, combien d'alignements de 4 cartes peut-on former ? La réflexion est très similaire à celle utilisée pour les permutations. Il y a 9 choix pour la 1ère place, 8 choix pour la 2ème place, puis 7 choix, puis 6 pour la 4ème place. Donc il y a 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3'024 alignements possibles. Une manière de calculer est : 9! 9 8 7 6 3'024 5! ⋅⋅⋅ = = , qui peut être plus rapide. Une méthode encore plus rapide à la calculatrice est décrite ci-dessous. Exercice III.2 Combien de mots fictifs de 3 lettres distinctes peut-on écrire avec les 26 lettres de l'alphabet ? On peut écrire 26 ⋅ 25 ⋅ 24 = 15'600 mots fictifs de 3 lettres distinctes avec les 26 lettres. Définition et formule On dispose de n objets distincts. Un arrangement sans répétitions de n objets pris k à la fois, est une manière de choisir k ( k n ≤ ) objets parmi n. L’ordre compte. Le nombre d’arrangements sans répétitions de n objets pris k à la fois, est noté n k A , et vaut : ! ( 1) ( 2) ... ( 1) ( )! n k n n n n n k n k A ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + = − = Explication Il y a n choix pour le 1er objet, n−1 pour le 2ème, n−2 pour le 3ème, …, n−k+1 pour le kème. Remarques ° Deux arrangements distincts diffèrent par l’ordre ou par la nature des objets les composant. ° La touche PRB de la calculatrice TI 34 ou TI 36 permet de calculer le nombre d'arrangements sans répétition de n objets pris k à la fois. 9 5 A = 9 PRB nPr 5 = Exercice III.3 a) Calculez le nombre de tiercés possibles lorsque 18 chevaux prennent le départ. b) De combien de manières différentes peut-on élire un président et un vice-président parmi 10 personnes ? c) La formule ! n n A n = justifie la convention 0! 1 = . Pourquoi ? a) Le nombre de tiercés possibles est 18 3 18 17 16 4'896 A = ⋅ ⋅ = . 18 PRB nPr 3 = 4'896. b) Le nombre de manières vaut : 10 2 90 A = . 10 PRB nPr 2 = 90 c) ! ! ! ( )! 0! n n n n A n n n = = = − . Pour que l'égalité soit correcte, il faut que 0! = 1. CORRIGE IV. Arrangements avec répétitions Analyse combinatoire 4ème - 4 IV. Arrangements avec répétitions Exercice IV.1 En lançant 4 fois de suite un dé standard, combien de séquences différentes peut-on obtenir ? Il y a 6 résultats pour le 1er lancer, 6 résultats pour le 2ème lancer, 6 résultats pour le 3ème lancer et 6 résultats pour le 4ème et dernier lancer. Donc il y a 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 64 = 1'296 séquences possibles. Exercice IV.2 Combien de mots fictifs de 3 lettres peut-on écrire avec les 26 lettres de l'alphabet ? Il y a 26 possibilités pour la 1ère lettre, et 26 possibilités pour la 2ème et 3ème lettre. On peut donc écrire 26 ⋅ 26 ⋅ 26 = 263 = 17'576 mots de 3 lettres avec ces 26 lettres. Définition et formule On dispose de n objets distincts. Un arrangement avec répétitions de n objets pris k à la fois, est une manière de choisir k objets parmi ces n objets, le même objet pouvant être pris plusieurs fois. L'ordre compte. Le nombre d’arrangements avec répétitions de n objets pris k à la fois, est noté n k A , et uploads/Religion/ analyse-combinatoire-cours-corrige 1 .pdf