Unversit´ e Amadou Mahtar Mbow, Dakar Senegal Ecole Sup´ erieure des Sciences e

Unversit´ e Amadou Mahtar Mbow, Dakar Senegal Ecole Sup´ erieure des Sciences et Techniques de L’Ing´ enieur Dr. Thierno M.M. Sow Cours Calcul tensoriel Avant-propos La description des déformations, des vitesses de déformation et des efforts intérieurs dans les milieux continus, nécessitent l’utilisation de tenseurs. Ce concept mathématique n’est pas introduit en mécanique des points matériels ni en mécanique des solides indéfor- mables car dans ces deux mécaniques élémentaires, il suffit de manipuler au plus des champs de vecteurs pour représenter mathématiquement les grandeurs physiques envisa- gées (vitesses, forces, etc). En outre, en mécanique des milieux continus, les déformations et les efforts intérieurs ne sont généralement pas uniformes, on aura donc à envisager des champs de tenseurs. On sera donc amené à généraliser les notions de gradient, divergence, rotationnel et laplacien pour ces champs.Toutes les définitions et les équations fondamen- tales de la mécanique des milieux continus peuvent s’exprimer systématiquement sous forme tensorielle. Outre l’avantage de la concision des formules, cette présentation de la mécanique met clairement en évidence que tout résultat de physique devrait être ten- soriel par essence, c’est-à-dire indépendant de la base choisie pour faire les calculs et indépendant du système de coordonnées choisi pour repérer un point dans l’espace. Ce cours consiste donc en un complément mathématique d’introduction sur les tenseurs. Il est en artie limité aux tenseurs opérant sur les vecteurs d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et se restreint au minimum indispensable pour comprendre la mécanique des milieux continus. Il ne peut en aucun cas être considéré comme un cours complet sur les tenseurs. 1 2 Avant-propos 1. Dans les espaces vectoriels, on ne se restreint pas à l’utilisation des seules bases orthonormées; 2. Pour repérer un point dans l’espace, on ne se restreint pas à l’utilisation des seules coordonnées cartésiennes orthonormées. Ce souci de généralité a un coût : il faut introduire les notions de covariance et de contravariance, ainsi que les coefficients de Christoffel, mais il a aussi un intérêt pédagogique : on comprend mieux com- ment on peut définir des systèmes de coordonnées. Contrairement à beaucoup de cours élémentaires, les opérateurs différentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien, sont définis intrinsèquement, c’est-à-dire indépendamment de tout sys- tème de coordonnées et l’on saura trouver les composantes de ces opérateurs de manière systématique, quel que soit le système de coordonnées utilisé. Le lecteur souhaitant conserver les restrictions précitées pourra, en ignorant la variance des composantes et en annulant tous les coefficients de Christoffel, retrouver les for- mules données dans les cours simplifiés. 2 CHAPITRE 1 Algèbre tensorielle Dans ce chapitre on définit les tenseurs et leurs opérations algébriques. Avant d’en don- ner les définitions, on commence par introduire une convention de notation inventée par Albert E INSTEIN pour ses calculs en mécanique relativiste, mais qui est couramment uti- lisée aujourd’hui dans toutes les spécialités qui utilisent des calculs vectoriels, matriciels et tensoriels. 1.1 Convention de sommation d’Einstein Soit ε un espace vectoriel de dimension n, sot {ei} = (e1, e2, ..., en) une base quelconque de cet espace, et soit V un vecteur de ε. On convient de munéroter avec un indice en haut les composantes du vecteur, et avec un indice en bas les vecteurs de base. Le vecteur V s’écrit donc V = n X i=1 Viei. 3 4 Algèbre tensorielle La convention d’Einstein consiste à omettre d’écrire le n X i=1 . On écrira donc : V = Viei. On convient qu’il s’agit d’une sommation par le fait que le même indice se répéte deux fois, une fois en haut et une fois en bas. Par exemple, pour n = 3, on a V = V1e1 + V2e2 + V3e3. 1.1.1 Régles et définitions Pour des raisons qui seront justifiées plus loin, les calculs utilisant la convention d’Einstein doivent impérativement suivre les régles suivantes : 1. Un indice de sommation est appelé indice muet. Dans un monôme, il doit appa- raître exactement deux fois : une fois en haut et une fois en bas. 2. Le nom d’indice muet est sans importance et peut donc être changé : V = Viei = V jej. 3. Un indice non muet est appelé indice réel. Dans un monôme, il ne peut apparaître qu’une fois(en haut ou en bas). 4. Dans une égalité ou une somme de monômes, les indices réels de chaque terme doivent être les mêmes et doivent être placés à la même hauteur. Si une expression indicielle utilisant la convention d’Einstein ne respecte pas toutes les régles, elle est incorrecte et résulte d’une erreur de calcul. 1.1.2 Notations des dérivées partielles Dans la suite on aura souvent à utiliser les dérivées partielles. Chaque fois qu’il n’y aura pas d’ambiguité, le symbole ∂ ∂xi s’écrira ∂i. Par exemple, la différentielle d’une fonction f(x1, x2, ..., xn) s’écrira d f = n X i=1 ∂f ∂xidxi = ∂i fdxi. 4 5 Algèbre tensorielle 1.1.3 Symbole de Kronecker Le symbole δi j a la signification suivante : δi j =                1 si i = j, 0 si i , j. (1.1) Si on range les δi j dans une matrice, δi j représente le terme général de la matrice unité. Propriété 1.1 Lorsque l’un des indices δ est sommé dans un monôme, on peut simplifier le monôme. Par exemple : T j iδk i = T j k; e j = δ j iei. 1.1.4 Représentation matricielle de certaines sommations Les sommation d’un monôme dont les termes ont un ou deux indices réels peuvent être représentées sous-forme de produits matriciels. Pour ranger des quanrtités à un ou deux indices dans des matrices, on adopte les conven- tions suivantes : 1. Les matrices sont représentées entre crochets. 2. Les quantité à un seul indice sont rangées dans des des matrices colonnes. L’indice unique (en haut ou en bas) est donc un indice de ligne. Par exemple, les compo- santes d’un vecteur sur une base sont rangées dans une matrices colonnes notée : [V∗] =                                       V1 V2 . . . Vn                                       . 3. Les quantités à deux indices sont rangées dans des matrices carrées suivant la convention suivante : l’indice de gauche est l’indice de ligne l’indice de droite est l’indice de colonne. 5 6 Algèbre tensorielle Par exemple, les termes T i j sont rangés dans la matrice carrée notée : [T ∗ ∗] =                 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33                 . Les points rappellent la position des indices des termes de la matrice. Si les quantités comportent plus de deux indices, on utilise pas cette représentation (pour trois indices il faudrait une ” matrice cubique”). A l’aide de ces conventions, on peut présenter matriciellement des sommations. Les 3 quantités c j définies ci-dessous cj = Ai jbi = biAi j preuvent être calculées par les produits matriciels [c∗] = [A∗ ∗][b∗]. 1.2 Composantes contravariantes d’un vecteur Soient ε un espace vectoriel, soit {ei} une base ε, et soit V un vecteur de ε. On a donc V = Viei. Les nombres Vi sont appelés composantes contravariante du vecteur V sur la base {ei}. Ce sont donc le composantes habituelles d’un vecteur sur une base. La dénomination contravariante est justifiée par ce qui suit. Soit {e j ′} une autre base de ε. La nouvelle base {ej ′} se définit sur l’ancienne base {ei} par les 3 relations ej ′ = Ai jei (1.2) oú Ai j est la i-éme composante du vecteur ej ′ sur la base ei. De même, l’ancienne base s’exprime sur la nouvelle par : ei = A ′k iek ′. (1.3) 6 7 Algèbre tensorielle En combinant (1.2) et (1.3) on a e j ′ = Ai jA ′k iek ′. Les vecteurs d’une base étant indépendants, on déduit Ai jA ′k i = δj k ⇐⇒[A∗ ∗][B∗ ∗] = [I∗ ∗] oú [I∗∗] est la matrice idéntité. On a donc la relation entre les matrices [A∗∗] et [B∗∗] [B∗ ∗] = [A∗ ∗]−1. Soit V = Viei un vecteur défini par ses composantes sur la base {ei}. Son expression sur la nouvelle base ej ′ est V = ViBk iek ′. Les composantes contravariantes de V dans la nouvelle base sont V ′k = Bk iVi ⇐⇒[V ′∗] = [B∗ ∗]T[V∗]. Alors que uploads/Religion/ chapitre-1-tensoriel.pdf

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• Publié le Mar 31, 2021
• Catégorie Religion
• Langue French
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