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Logique 3 ECE -B - Exemple ? Les énoncés suivants sont des propositions dont la valeur de vérité dépend du choix des variables CH I Logique et raisonnements mathématiques a x ? cette proposition est vraie pour tout x plus grand que Dans ce chapitre on int

ECE -B - Exemple ? Les énoncés suivants sont des propositions dont la valeur de vérité dépend du choix des variables CH I Logique et raisonnements mathématiques a x ? cette proposition est vraie pour tout x plus grand que Dans ce chapitre on introduit la syntaxe et la sémantique d ? éléments de base du langage mathématique L ? objectif est double ? pouvoir comprendre et écrire des phrases mathématiques simples ? donner des bases rigoureuses a ?n de pouvoir démontrer ce type de phrases mathématiques I Propositions mathématiques Dé ?nition Proposition mathématique On appelle proposition mathématique un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité vrai ou faux Exemple ? Les énoncés suivants sont des propositions mathématiques a b c ln Cette proposition Cette proposition Cette proposition est vraie est fausse est fausse ?? ? Par contre ?? et ne sont pas des propositions puisqu ? on ne peut leur attribuer de valeur de vérité Ce sont des expressions arithmé- tiques dont le résultat est un réel Il est à noter qu ? une proposition mathématique peut comporter des variables En conséquence il est possible que la valeur de vérité d ? une proposition dépende du choix de ces variables ? cette proposition est fausse sinon i e pour tout x strictement inférieur à ?? b x x ? cette proposition est vraie pour tout x plus grand que ? cette proposition est fausse sinon i e pour tout x strictement inférieur à c x y x y Pour conna? tre la valeur de vérité cette proposition on aimerait la simpli ?er en commençant par se débarrasser de l ? opérateur ?? Une tell ??e démarche est périlleuse si on reprend la proposition précédente x x une élévation au carré de part et d ? autre du symbole d ? égalité fournit l ? expression x x qui est vraie pour tout x réel L ? élévation au carré n ? est donc pas un opérateur neutre en terme de valeur de vérité nous reviendrons plus tard sur ce point Sans entrer dans les détails on peut remarquer que ? si x la proposition est vraie pour tout y ? si y la proposition est vraie pour tout x ? si x et y la proposition est fausse ? Par contre x ?? ??y n ? est pas une proposition C ? est une expression arithmétique dont le résultat est un réel On peut nommer une proposition Si elle dépend d ? une variable explicitement donnée on fera appara? tre cette dépendance Par exemple on pourra noter p x y la proposition x y x y CECE -B - II Connecteurs logiques II Conjonction Dé ?nition Conjonction Soient p et q sont deux propositions mathématiques ? On note p ET q la proposition qui est ? vraie quand p et q sont simultanément vraies ? fausse sinon Autrement dit une conjonction p ET q est fausse si au moins l ? une des deux propositions p ou