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M 963 buea ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES épreuves coiiiiiiuiies coinposition de Mathématiques COMPOSITION DE MATHeMATIQUES C Sujetcommun ENS ULM LYON et CACHAN C DURÉE heures Bien que traitant d'un thème commun les trois parties du problème peuvent être abo

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES épreuves coiiiiiiuiies coinposition de Mathématiques COMPOSITION DE MATHeMATIQUES C Sujetcommun ENS ULM LYON et CACHAN C DURÉE heures Bien que traitant d'un thème commun les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment mises a part quelques notations introduites dans le préliminaire de la première partie Une lecture attentive des préliminaires de chaque partie est vivement conseillée Dans tout le problème In désigne le logarithme népérien exp l'exponentielle de base e et la fonction dé ?nie sur R par O O et x x In x si x O PFEMIeRE PARTIE Soient Q P un espace de probabilité X et Y deux variables aléatoires dé ?nies sur Q a valeurs dans un même ensemble ?ni E dont le nombre d'Cléments est noté El On dit que Y est vraisemblable pour X s'il existe une fonction c d e E dans W appelée vraisemblance de Y pour X telle que pour u E E P Y - a L a P X - a L u O si P X u O On remarquera que Y est vraisemblable pour X si et seulement si pour a E E P X - a O P Y - a O l et que la vraisemblance de Y pour X est alors unique en particulier si P X a f O pour tout u E E toute variable Y est vraisemblable pour X Si Y est vraisemblable pour X de vraisemblance L on appelle entropie relative de Y pour X la quantité E Z désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire Z On appelle entropie de X la quantité H X - w P X a I E E Montrer que pour x et y dans R on a In x - In y d ? r - - y b En déduire que pour tout x O x -t- - x b O I a Calculer H X lorsque X est constante puis lorsque X suit la loi uniforme sur E Quel est le signe de H X On suppose Y vraisemblable pour X de vraisemblance L Montrer que K Y X b O on pourra utiliser b Quand y a-t-il égalité On suppose que X suit la loi uniforme sur E Montrer que toute variable Y est vraisemblable pour X et que K Y X H X - H Y En déduire une majoration de H Y C ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES épreuves communes composition de Mathématiques On suppose Y vraisemblable pour X de vraisemblance L a Soit u une fonction de E dans Rt Montrer que E L X ln u X - w L XNl Q E u XI- on pourra utiliser a Pour quelle s u y a-t-il égalité En déduire que pour toute fonction v de E dans R on a E v Y - E exp v X jI Q K Y X Pour quelle s v y a-t-il égalité c On note h v la quantité E v Y E exp v X Pour