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Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique COURS DE MATHEMATIQUES COURS DE MATHEMATIQUES KHALID SBAI KHALID SBAI Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Ecole Supérieure de Technologie Ecole Supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique kh.sbai@yahoo.fr kh.sbai@yahoo.fr Université Moulay Ismaïl Université Moulay Ismaïl Enseignant Enseignant – Chercheur Chercheur Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Chapitre Chapitre II II Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES SERIES ENTIERES SERIES ENTIERES Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique On On appelle appelle série série entière entière de de variable variable réelle réelle x, x, toute toute série série de de fonctions fonctions dont dont le le terme terme général général (U (Un(x)) (x)) est est de de la la forme forme: où où (a (an) désigne désigne une une suite suite de de nombres nombres réels, réels, appelée appelée coefficient coefficient d’ordre d’ordre n de de la la série série entière entière. ( ) n n n U x a x = = = = n a x ∞ ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ I. DEFINITIONS I. DEFINITIONS I.1 Définition I.1 Définition Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Une série entière est notée: Une série entière est notée: Selon Selon cette cette définition, définition, la la somme somme partielle partielle (S (Sn) de de rang rang n est est un un polynôme polynôme de de degré degré n. Elle Elle constitue constitue donc donc une une généralisation généralisation de de la la notion notion de de polynôme polynôme. Pour une valeur Pour une valeur x0 fixée de fixée de x, est une série numérique , est une série numérique 0 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique I.2 Lemme (Lemme d’Abel) I.2 Lemme (Lemme d’Abel) Soit une série entière. On suppose qu’il existe x Soit une série entière. On suppose qu’il existe x0∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈R R tel que la suite soit bornée. Alors la série: tel que la suite soit bornée. Alors la série: 0 n n n a x ∞ = ∑ ( ) 0 n n n a x n a x ∞ ∑ Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES est absolument convergente pour |x|<|x est absolument convergente pour |x|<|x0|. |. 0 n n a x = ∑ Démonstration: Démonstration: La suite est bornée La suite est bornée ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒il existe M>0 tel que il existe M>0 tel que ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀n∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈N N ( ) 0 n n n a x 0 . n n a x M < Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Pour |x|<|x Pour |x|<|x0|: |: La série est une série géométrique de raison La série est une série géométrique de raison 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n a x x x x a x a x M x x x = = ≤ n n x x ∞ ∑ 1 x < Suite: Suite: Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES La série est une série géométrique de raison La série est une série géométrique de raison donc convergente. donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série est D’après le théorème de comparaison, la série est convergente et par conséquent la série converge convergente et par conséquent la série converge absolument pour |x|<|x absolument pour |x|<|x0|. |. 0 0 n n x = ∑ 0 1 x < 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑ Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique 0 n n n a x ∞ = ∑ Soit Soit (a (an) une une suite suite réelle réelle et et sa sa série série entière entière associée associée. On On appelle appelle rayon rayon de de convergence convergence de de la la série série la la borne borne sup sup de de l’ensemble l’ensemble : Et Et on on la la note note par par R. ( ) { } 0, est bornée n n x a x ≥ I.3 Définition Définition 2: Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Dans Dans la la suite, suite, nous nous nous nous concentrons concentrons essentiellement essentiellement sur sur la la recherche recherche de de l’ensemble l’ensemble des des valeurs valeurs réelles réelles de de x pour pour lesquelles lesquelles la la série série est est convergente convergente. Et Et on on la la note note par par R. 0 n n x ∞ = ∑ La série géométrique, est convergente pour La série géométrique, est convergente pour -1 < 1 < x x < 1. < 1. Exemple Exemple Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique II. Domaine de conve II. Domaine de convergence d’une série entière rgence d’une série entière Si une série entière converge en Si une série entière converge en x0, alors elle converge pour tout , alors elle converge pour tout x vérifiant | vérifiant |x|<| |<|x0|. |. Soit Soit une une série série entière entière . Alors Alors il il existe existe un un unique unique réel réel R II.2 Rayon de convergence II.2 Rayon de convergence n n a x ∞ ∑ II.1 Propriété II.1 Propriété Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Soit Soit une une série série entière entière . Alors Alors il il existe existe un un unique unique réel réel R positif positif ou ou +∞ +∞tel tel que que: * Pour Pour |x|<R |x|<R la la série série entière entière converge converge absolument absolument * Pour Pour |x|>R, |x|>R, la la série série entière entière ne ne converge converge pas pas. * Pour Pour |x|=R, |x|=R, la la série série peut peut ou ou non non converger converger L’intervalle ] L’intervalle ]-R, , R[ s’appelle l’intervalle de convergence de la série. [ s’appelle l’intervalle de convergence de la série. 0 n n a x = ∑ R s’appelle s’appelle le le rayon rayon de de convergence convergence de de la la série série. Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Remarques Remarques Le rayon de convergence d’une série est caractérisé Le rayon de convergence d’une série est caractérisé par : par : 0 n n n a x ∞ = ∑ 1. |x| < R 1. |x| < R ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ est absolument convergente. est absolument convergente. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 0 n n n a x ∞ = ∑ Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2. |x| > R 2. |x| > R ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ diverge. diverge. 3. |x| = R est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la 3. |x| = R est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série. nature de la série. 0 n n n a x ∞ = ∑ Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique II.3 II.3 Détermination de convergence d’une série entière Détermination de convergence d’une série entière II.3.1 Lemme (Lemme d’Hadamard) II.3.1 Lemme (Lemme uploads/Science et Technologie/ chap2-cours-math-se-pdf.pdf