Cours :Recherche Opérationnelle Khalid BOUIHAT Université Hassan 1er Settat Eco

Cours :Recherche Opérationnelle Khalid BOUIHAT Université Hassan 1er Settat Ecole Nationale des Sciences Appliquées- Berrechid Filière :DUT GLT Semestre :S3 12 novembre 2018 Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 1 / 93 Plan 1 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices Opérations sur les matrices 2 Forme matricielle d’un système linéaire 3 Introduction à la recherche opérationnelle 4 Définitions générales 5 Modélisation 6 Résolution via le solveur d’Excel 7 Algorithme du simplexe : Préliminaires Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 2 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices NOTION DE MATRICE On appelle matrice de dimension m × n un tableau de nombres comportant m lignes et n colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice. A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 · · · amn      Notations : a11, a12, a13, ...., amn désignent les coefficients de la matrice. Le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne est noté aij La matrice A se note aussi (aij)1≤i≤m,1≤j≤n Autrement dit, est la matrice des coefficients aij Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 3 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices ExempleSi A =   1 3 4 −2 5 2 0 1 3  , alors a12 désigne le coefficient de la 1ère ligne et de la 2ème colonne avec a12 = 3 et a21 désigne le coefficient de la 2ème ligne et de la 1ère colonne avec a21 = −2. La matrice A se compose de 3 lignes et de 3 colonnes donc est une matrice de dimension 3 × 3. Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 4 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices Matrices Particulières Une matrice comportant une seule ligne s’appelle un vecteur-ligne. Un vecteur-ligne a donc pour dimension 1 × n. Dans ce cas, m = 1 . Une matrice comportant une seule colonne s’appelle un vecteur-colonne. Un vecteur-colonne a donc pour dimension m × 1. Dans ce cas, n = 1. Une matrice comportant autant de lignes que de colonnes s’appelle une matrice carrée. Une matrice carrée a donc pour dimension n × n. Dans ce cas m = n. On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, exceptés ceux de la diagonale issue du coin en haut à gauche. Autrement dit, A est une matrice diagonale si :aij = k si i = j et aij = 0 si i ̸= j Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 5 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices On appelle matrice identité (ou matrice unité) une matrice carrée dont tous les coefficients de la diagonale issue du coin en haut à gauche sont égaux à 1, et dont tous les autres coefficients sont nuls. Autrement dit, A est une matrice identité si : aij = 1 si i = j et aij = 0 si i ̸= j . On note In la matrice identité d’ordre n. On appelle matrice nulle toute matrice dont les coefficients sont tous nuls. Dans ce cas aij = 0 Exemple A = 1 3 4  est un vecteur-ligne de dimension 1 × 3 B =   1 −2 0   est un vecteur-colonne de dimension 3 × 1 Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 6 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices C =   1 3 4 −2 5 2 0 1 3   est une matrice carrée de dimension 3 × 3 D =   1 0 0 0 5 0 0 0 3   est une matrice diagonale I3 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   est la matrice identité d’ordre 3, que l’on note I3 O =   0 0 0 0 0 0 0 0 0   est une matrice nulle. Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 7 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices Définition Deux matrices sont égales si elles ont même dimension et si les coefficients situés à la même place sont égaux. Autrement dit, deux matrices A et B sont égales si A et B ont toutes deux pour dimension m × n et si aij = bij(pour toute ligne et toute colonne ). Exemple A =  1 4 0 3  et B =  a b c d  sont deux matrices carrées de même dimension 2 × 2 ; elles ne sont égales que si le système suivant est vérifié        a = 1 b = 4 c = 0 d = 3 Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 8 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Généralités sur les matrices Définition On appelle matrice transposée de la matrice A la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. Ainsi, à tout coefficient aij de A la matrice correspond le coefficient aji de la matrice transposée AT. Exemple La matrice A =   1 4 6 5 0 3  a pour matrice transposée la matrice AT =  1 6 0 4 5 3  Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 9 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Opérations sur les matrices Définition de la somme de matrices On appelle somme de deux matrices (de même dimension m × n ) la matrice obtenue en additionnant les coefficients qui ont la même position. A + B =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 · · · amn     +      b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n . . . . . . ... . . . bm1 bm2 · · · bmn      =      a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n . . . . . . ... . . . am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn      Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 10 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Opérations sur les matrices Remarque importante : On ne peut pas additionner deux matrices de dimensions différentes. Proposition Les propriétés habituelles de l’addition valent pour la somme de matrices : L ’associativité : (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C La commutativité : A + B = B + A Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 11 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Opérations sur les matrices Définition de la produit de deux matrices Soit A une matrice de dimension n × p et soit B une matrice de dimension p × m On appelle le Produit A × B la matrice C de dimension n × m où chaque coefficient cij est le produit de la ième ligne de A et de la jème colonne de B. Autrement dit : Si on pose A = (aij) avec 1 ≤i ≤n et 1 ≤j ≤p et B = (bij) avec 1 ≤i ≤p et 1 ≤j ≤m alors C = (cij) avec 1 ≤i ≤n et 1 ≤j ≤m. cij = p X k=1 aikbkj Remarque importante : La matrice A × B n’est définie que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 novembre 2018 12 / 93 Rappel sur le calcul matriciel-Matrices Opérations sur les matrices Exemple A × B =  1 2 −3 4 −5 6  ×   7 8 9 −1 3 5  =  1 × 7 + 2 × 9−3 × 3 1 × 8−1 × 2−3 × 5 4 × 7−5 × 9 + 6 × 3 4 × 8 + 5 × 1 + 6 × 5  Propriétés : La multiplication de matrices est associative : (A × B) × C = A × (B × C) = A × B × C La multiplication de matrices n’est pas commutative : A × B ̸= B × A La multiplication des matrices est distributive par rapport à l’addition A × (B + C) = A × B + A × C Khalid BOUIHAT (ESTB) Cours :Recherche Opérationnelle 12 uploads/Science et Technologie/ cours-recher-operglt1819.pdf

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