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UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحس

UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحسن الثاني بالدار البيضاء ------- كلية العلوم عين الشق Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74 http://www.fsac.ac.ma DEVOIR Nom : ------------ Filière SMP Prénom : Salah Eddine Option : Electronique -Le document d’énoncer des exercices comporte cinq pages. - Reporter les réponses aux questions dans ce document avec l’éditeur WORD. - Déposer le document dans la plate-forme avant jeudi 21 Mai 2020 délais de rigueur. Partie 1 : Calcule matriciel Questions Réponses Question 1 A, B, C Question 2 A Question 3 A Question 4 D Question 5 A, C Question 6 A Question 7 C Partie 2 : Systèmes linéaires Question 1 Donner seulement la valeur du coefficient qui manque dans la matrice compacte, c’est-à-dire le Question 2 a) La factorisation LU donne la matrice compacte suivante (Compléter cette matrice) ( ) ⃗ ( ) b) ( ) c) La deuxième colonne de est ( ) d) La matrice A est : UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحسن الثاني بالدار البيضاء ------- كلية العلوم عين الشق Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74 http://www.fsac.ac.ma ( ) Question 3 La factorisation LU sans permutation de lignes donne la matrice compacte suivante (Compléter cette matrice) a) ( ⁄ ⁄ ⁄ ) b) ( ) ( ) ( ) c) La solution du système ( ) est : ( ) ( ) Question 4 La décomposition LU de Crout de la matrice A la plus efficace avec permutation de lignes, donne : ( ) ( ) ⃗ ( ) Partie 3 : Systèmes no linéaires Question 1 : Pour une approximation initiale ( ) ( ) on a : ( ) ( ) ( ) Cette approximation initial n’est par un bon choix, car la matrice ici singulière et n’est pas capable de donner des valeurs a( ). UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحسن الثاني بالدار البيضاء ------- كلية العلوم عين الشق Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74 http://www.fsac.ac.ma Question 2 Itération 1 : ( ) ( ) Itération 2 : ( ) ( ) Itération 3 : ( ) ( ) Itération 4 : ( ) ( ) Itération 5 : ( ) ( ) Question 3 a) Le nombre de solution déterminé graphiquement sur l’intervalle [ ] est 3. La position des solutions est : (-1,0),…(1,0)...... (0.3437106, 0.8818629) … b) Donner le système d’équations linéaires à résoudre à la première itération de la méthode de Newton, pour l’approximation initiale ( ) ( ⁄ )est : ( ) ( ) ( ) c) la matrice Jacobienne est inversible en la solution [ ] donc La méthode de Newton converge à l’ordre 2 ne converge pas rapide car ( ) → ( ) → =1.0307 d) La méthode de Newton ne fonctionne pas si pour une approximation initiale ( ) le dét( ( )) Question 4 a) Itération 1 : ( ) ( ) b) La matrice Jacobienne est singulière donc Le lieu des approximations initiale tous les points de la droite . UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحسن الثاني بالدار البيضاء ------- كلية العلوم عين الشق Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74 http://www.fsac.ac.ma Partie 4 : Algorithmique Factorisation de Cholesky ( ) ( ) ( ) Q1 √ √ √ Q2 : Algorithme général de Cholesky ( ) Si A est une matrice symétrique définie positive, il existe une matrice réelle triangulaire inférieure L telle que : A=LLT. On déduit : ( ) ∑ ∑ La matrice A étant symétrique, il suffit que les relations ci-dessus soient vérifiées pour i ≤ j, c'est-à-dire que les éléments de la matrice L doivent satisfaire : ∑ UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA --------- Faculté des Sciences Aïn Chock لحسن الثاني بالدار البيضاء ------- كلية العلوم عين الشق Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74 http://www.fsac.ac.ma Pour i=1, on détermine la première colonne de L : √ On détermine la i-ème colonne de L 2 ≤ i ≤ n, après avoir calculé Les (i–1) premières colonnes : + √ ∑ ∑ , Il résulte du théorème précédent qu'il est possible de choisir tous les éléments en assurant que toutes les quantités. , ∑ Sont positives. Q3 ( ) ( ) Q4 a) ( ) ( ) b) : ( ) admet comme solution : ( ) ( ) uploads/Science et Technologie/ devoir-analyse-numerique-smp6-2020.pdf