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Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de

Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1 B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex. e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr ii Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for- malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : • l’optimisation (recherche d’extremums, minimisaton d’une énergie, etc.) ; • les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des ondes, etc.) ; • l’intégration (calculs de moments d’inertie, de ﬂux, etc.). Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l’étudier sérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez aﬁn que nous en discutions en cours. Yannick Privat iii iv Table des matières 1 Introduction à l’étude des fonctions de plusieurs variables 1 1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Exemple mathématique et déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Représentation graphique d’une fonction à deux variables . . . . . . 3 1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Rappel : dérivation d’une fonction de R dans R . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Fonction de n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Calculs de limites et continuité 11 2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Cas des fonctions de R2 dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 v vi TABLE DES MATIÈRES 2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Notion de diﬀérentiabilité 23 3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Calcul diﬀérentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2 Fonctions f : Rn − →Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.3 Application diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.5 Expression explicite de la diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Conséquences de la diﬀérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35 4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 Diﬀérentiabilité des fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Notion de C1-diﬀéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.1 Généralités . . . . . . . . . uploads/Science et Technologie/ fonctions-de-plusieurs-variables-et-applications-pour-l-ingenieur.pdf