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Mathematique c MNI TÈRE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR ET DE LA RECHERCI IE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GÉNÉRAL ' '' I ' ' 'i ' ? TTA JTR ? DI RECTION GÉNÉRALE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR DIRECTION DE L'E I EIGNE IIENT sUPÉRIEUR s M r r ure t o Série ption Code

MNI TÈRE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR ET DE LA RECHERCI IE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GÉNÉRAL ' '' I ' ' 'i ' ? TTA JTR ? DI RECTION GÉNÉRALE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR DIRECTION DE L'E I EIGNE IIENT sUPÉRIEUR s M r r ure t o Série ption Code matière Scienti ?que c ô B riC Cl ÀL ? l-l R ÀT n ? L' ld t lü ? Mfr i i T û f Nf ft ê L SESS'ON CgW F o Épreuve de ÊrtATl'lÊl tATlQUES Durée heures Coe ?cient o NB - L'utilisation d'une machine calculatrice scienti ?que non programmable est autorisée - L'exercice et les deux problèmes sont obligatoires EXERCICE points Partie A Un appareil ée ieu est constitué de cases numérotées de à et d'une seule boule L'épreuve consiste à faire tomber la boule dans l'une de ces cases t On e ?ectue une épreuve et on suppose qu'il existe un reel positif p tel que Pr k p o? Pt est la probabilité pour que la boule soit tombée dans la case numéro k avec ke tr p a Déterminer le réel b En déduire que pl t p i Onrepète fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve de la question a Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée une fois et une seule I dans la case numéro b Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée au moins fois dans la case numéro NB donner les résultats sous forme de fraction rationnelle irréductible Pt pt pt Pt Eartie B Pour tout entier naturel n on pose An n n L a En utilisant une démonstration par récurrenee sur n montrer que A r est divisible par b A l'aide de congruence arithmétique montrer que Aest divisible par pt pt ? a A l'aide du théorème de Gauss montrer que si un entier relatif N est divisible simultanément par deux entiers relatifs p et q premiers entre eux alors N est pq divisible par le produit b Montrer que A est divisible par pt pt PROBLEME I points Dans le plan orienté on considère le triangle équilatéral direct ABC tel que AB cm on désigne par G l'isobarycentre des points A B C Soient BDEC un parallélogramme direct tel que e? TC Soient O le milieu du segment AB et F le point d'intersection de la médiatrice de BD avec la droite AB Soient rr la rotation de centre A d'angle v rt rz larotation de centreB d'angle T la transformation réciproque de rz t la translation de vecteur IZ S la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en E Onposef- ro etg toT Page CPartie A Tracer le triangle AEIC et placer les points O G D E et F a Quelle est la nature de la transformation f b Décomposer rr et en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies f c Donner les éléments caractéristiques de a Donner la nahre et les