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Mathematiques psi1m SESSION PSI M ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI MATHÉMATIQUES Lundi mai h - h N B le candidat attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peu

SESSION PSI M ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI MATHÉMATIQUES Lundi mai h - h N B le candidat attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d ? énoncé il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il a été amené à prendre RAPPEL DES CONSIGNES Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non e ?açable pour la rédaction de votre composition d ? autres couleurs excepté le vert peuvent être utilisées mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats Ne pas utiliser de correcteur Écrire le mot FIN à la ?n de votre composition Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux problèmes indépendants CPROBLÈME Autour de la fonction sinus cardinal Objectifs Dans ce problème on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal On utilise ensuite dans la Partie II une variante de la formule de Viète pour exprimer la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d ? une suite d ? intégrales Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal Pour x on note F x ? sin t e ??tx dt G x ? e ??tx sin t dt et H x ? e ??tx cos t dt t Q Montrer que ??t ?? R sin t ? t Q Montrer que les fonctions F G et H sont bien dé ?nies sur ? Q Montrer que lim F x x ? ? Q Montrer que F est de classe C sur ? et exprimer F à l ? aide de la fonction G Q Trouver une expression simple pour G et pour H On pourra calculer H x iG x ? En déduire pour ?? ? la valeur de e ??tx cos t dt Q En déduire une expression simple pour F Que vaut F Partie II - Autour de la formule de Viète Q Montrer que pour tout t et pour tout n ?? N ? n cos k t k sin t n sin t n Q Montrer que pour tout t et pour tout n ?? N ? n t cos k k n ?? n ?? k cos k ?? n t On pourra raisonner par récurrence et utiliser l ? identité cos a cos b cos a b cos a ?? b CQ En déduire que pour tout t sin t n ?? t lim n ? ? n ?? cos k ?? n t k Q Montrer que pour tout x n ?? F x lim n ? ? n ?? k ? cos k ?? n t e ??tx dt On pourra introduire pour tout n ?? N ? la fonction fn ? ? R dé ?nie par ??t ??