Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Math s4 Résumé du cours de mathématiques - ECS - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer Le Raincy ?che n SYSTEMES D ? EQUATIONS LINEAIRES F F F F Système de n équations linéaires à p inconnues a x a p x p b F F F F F F an x an p x p bn Les x x p s

Résumé du cours de mathématiques - ECS - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer Le Raincy ?che n SYSTEMES D ? EQUATIONS LINEAIRES F F F F Système de n équations linéaires à p inconnues a x a p x p b F F F F F F an x an p x p bn Les x x p sont les inconnues Les ai j et les bi sont les coe ?cien ts Une solution du système est un élément x x p de R p qui véri ?e toutes les équations Système homogène Le système est homogène si ??i solution bi Il admet au moins une Système de Cramer C ? est un système carré n p qui admet une unique solution Systèmes équivalents Deux systèmes sont équivalents s ? ils ont le même ensemble de solutions Opérations élémentaires sur les lignes ? Echange de deux lignes Li ? L j ? Ajout d ? une autre ligne Li Li L j ? Multiplication d ? une ligne par un réel ?? Li Li Elles transforment un système en un système équivalent Il en est de même pour toute transformation de la forme Li Li ?Lj à condition que ?? Matrice complétée du système C ? est la matrice des coe ?cients A F EB F EC F EC a M L O a p b F F F F F F M M F EDF EC F F F F an L an p bn ?che n suite Méthode du pivot de Gauss Objectif A l ? aide d ? opérations élémentaires transformer le système en un système triangulaire équivalent simple à résoudre Etape on choisit une ligne de référence que l ? on met dans L coe ?cient de x non nul et le plus simple possible puis on transforme toutes les lignes sauf L par Li Li ?L avec ?? pour annuler le coe ?cient de x dans Li Etapes suivantes Ensuite on ne change plus L et on recommence le même procédé avec l ? inconnue x sur le système formé par L Ln ? et ainsi de suite jusqu ? à ce que l ? on ait épuisé les lignes ou les inconnues Si au cours de ces transformations on trouve une équation de la forme x x p b ? Si b ?? le système n ? a pas de solution Le processus s ? arrête ? Si b on continue le processus en supprimant la ligne Ensemble des solutions On se place dans le cas o? l ? on n ? a pas trouvé S ? Si le système ?nal est triangulaire les termes de la diagonale étant non nuls pivots le système est un système de Cramer et on obtient la solution par substitution depuis la dernière ligne jusqu ? à la première On peut aussi e ?ectuer des transformations symétriques sur la matrice complétée pour obtenir une matrice de la forme F EB F EC F EC M L O