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Minesponts 2017 mp m1 enonce

A ?? MATH I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ex Télécom Bretagne ENSAE PARISTECH Concours Centrale-Supelec Cycle International Concours Mines-Télécom Concours Commun TPE EIVP CONCOURS PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l ? épreuve heures L ? usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES I - MP L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CÉtude d ? un endormorphisme d ? un espace de fonctions numériques Soit I un intervalle de la forme ??a a o? a est un réel strictement positif Dans tout le problème on considère les ensembles suivants ? E le C-espace vectoriel constitué des applications de I dans C de classe ? C ? D la partie de E constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de ? P la partie de E constituée de ses éléments polynomiaux Pour tout n ? N on note ? ? sin n d Wn tt et si f ? E on note u f et v f les applications de I dans C dé ?nies par les formules ? ? xI Y uf x ? ? sin d fx t t ? ? ? ? sin d vf x f x f x t t Les candidats devront justi ?er leurs a rmations A Préliminaires Justi ?er que P et D sont des sous-espaces vectoriels de E Montrer que si f ? E u f et v f sont bien dé ?nies et appartiennent à E et que l ? on dé ?nit ainsi des endomorphismes u et v de E Montrer que P est stable par u et par v Établir pour n ? N une relation simple entre Wn et Wn En déduire que pour tout n ? N WnWn ? n Montrer que la suite Wn n ?N est strictement décroissante Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite TSVP CB Étude de la continuité de u et v On considère la norme de E dé ?nie pour tout ? E par la formule M f max Mf ? fx xI Véri ?er que M est bien dé ?nie et montrer que u est une application continue de l ? espace vectoriel normé E M dans lui-même L ? application v est-elle continue de E M dans lui-même Véri ?er que l ? application N E ? R dé ?nie par N f ? Mf Mf est une norme sur E et montrer que v est continue de E N dans E M Les normes M et N sont-elles équivalentes