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Mp maths mines 1 2017 enonce

Mines Maths MP ?? Énoncé ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ex Télécom Bretagne ENSAE PARISTECH Concours Centrale-Supelec Cycle International Concours Mines-Télécom Concours Commun TPE EIVP CONCOURS PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l ? épreuve heures L ? usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES I - MP L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Téléchargé gratuitement sur www Doc-Solus fr CMines Maths MP ?? Énoncé Étude d ? un endormorphisme d ? un espace de fonctions numériques Soit I un intervalle de la forme ??a a o? a est un réel strictement positif Dans tout le problème on considère les ensembles suivants ? E le C-espace vectoriel constitué des applications de I dans C de classe C ? ? D la partie de E constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de ? P la partie de E constituée de ses éléments polynomiaux Pour tout n ?? N on note ? Wn sin t n dt et si f ?? E on note u f et v f les applications de I dans C dé ?nies par les formules ??x ?? I F F F F F F F F u f x ? f x sin t dt F F F F ? F F F F F F ? F F F F F F F F v f x f x f ?? x sin t dt Les candidats devront justi ?er leurs a ?rmations A Préliminaires Justi ?er que P et D sont des sous-espaces vectoriels de E Montrer que si f ?? E u f et v f sont bien dé ?nies et appartiennent à E et que l ? on dé ?nit ainsi des endomorphismes u et v de E Montrer que P est stable par u et par v Établir pour n ?? N une relation simple entre Wn et Wn En déduire que pour tout n ?? N ? WnWn n Montrer que la suite Wn n ??N est strictement décroissante Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite Téléchargé gratuitement sur www Doc-Solus fr CMines Maths MP ?? Énoncé B Étude de la continuité de u et v On considère la norme M de E dé ?nie pour tout f ?? E par la formule M f max f x x ??I Véri ?er que M est bien dé ?nie et montrer que u est une application continue de l ? espace vectoriel normé E M dans lui-même L ? application v est-elle continue de