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Notes de cours ch1 ACT MATHÉMATIQUES ACTUARIELLES Notes de cours hiver Professeur Frédéric Michaud ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Chapitre Modèles de survie Introduction L ? évaluation de la prime d ? un contrat d ? assurance ou de rente repose en

ACT MATHÉMATIQUES ACTUARIELLES Notes de cours hiver Professeur Frédéric Michaud ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Chapitre Modèles de survie Introduction L ? évaluation de la prime d ? un contrat d ? assurance ou de rente repose en bonne partie sur la connaissance de la loi de probabilité de l ? ? ge de décès d ? une personne Ce chapitre est consacré à de multiples facettes de la modélisation stochastique de la durée de vie future Deux approches di érentes retiendront notre attention la modélisation paramétrique dans laquelle on suppose une loi de probabilité qui s ? exprime par une forme explicite ou la table de mortalité pour laquelle on spéci ? e une probabilité de décès pour chaque ? ge entier Durée de vie future notation dé ?nitions Soit T une variable aléatoire qui représente la durée de vie d ? une personne prise au hasard Nous supposerons que T est une variable aléatoire continue Selon la notation classique de la théorie des probabilité F x Pr T x et S x Pr T x F x sont respectivement les fonctions de répartition et de survie de T En Notation Actuarielle Internationale N AI xq F x xp S x xq Dans les applications courantes on doit le plus souvent mesurer des fonctions actuarielles pour des personnes ayant déjà atteint un certain ? ge noté x Nous écrirons x pour faire référence à une personne d ? ? ge x et sa durée de vie future sera notée Tx En d ? autres termes Tx T xjT x o? jT x doit s ? interpréter comme étant la condition que T x Donc Tx est dé ? nie si T x et elle ne l ? est pas pour une personne étant décédée à l ? ? ge x ou auparavant En N AI on note respectivement tqx et tpx les fonctions de répartition et de survie de Tx c ? est-à-dire que tqx Fx t Pr Tx t tpx Sx t Pr Tx t tqx On peut déjà établir quelques relations de base Premièrement tpx t xp xp C Celle-ci se véri ? e en constatant que tpx Pr Tx t Pr T x tjT x S x t t xp S x xp Une forme équivalente à est t xp xp tpx Une démonstration semblable permet de montrer que t spx spx tpx s Aussi on peut facilement véri ? er que Pr t Tx t u t uqx tqx tpx t upx En N AI on note cette dernière probabilité tjuqx tjuqx Pr t Tx t u Dans la notation actuarielle tj prend habituellement le sens de di éré t années Quand t dans les expressions tqx et tpx on laisse tomber le t c ? est-à-dire que On remarque aussi que qx qx px px tj qx tjqx tjqx tpx t px tpx px t la dernière égalité découlant de Puisque px t qx t on