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Journées APMEP Metz Atelier P - du dimanche octobre Louis- Marie BONNEVAL Cha? nes de Markov au lycée Andre? Markov - C série S C CProblème Bonus et malus en assurance automobile CUn contrat d'assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle Bas Intermédiaire Haut ? La première année l'assuré paye le tarif intermédiaire ? S'il n'a pas été responsable d'un accident pendant une année il passe au tarif inférieur l'année suivante s ? il est déjà au tarif bas il y reste ? S'il a été responsable d'un accident au cours d'une année il passe au tarif supérieur l'année suivante s ? il est déjà au tarif haut il y reste La compagnie d ? assurance estime à la probabilité qu'un assuré pris au hasard soit responsable d'un accident au cours d'une année Quelle sera à long terme la répartition des assurés entre les trois catégories de tarif CGraphe probabiliste B I H Notons bn respectivement in hn la probabilité qu ? au bout de n années un assuré pris au hasard soit au tarif bas respectivement intermédiaire haut ? CArbre année n année n B I bn B B Début in I hn H H I H Donc ? ? ? b b i ? ? i b h ?? n ? ? n ? n ? n n n h i h ? ? ? ? ? n ? n n CExploration au tableur ou à la calculatrice n bn in hn CAvec les matrices ? b b ?? ?? ih ih ?? ?? ?? n ? ? ? nn ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? n ? ? n n ? ? ? ? soit Pn T Pn Si la suite Pn converge vers P alors P TP C ? b ? Cherchons P ?? ?? i ? ? tel que TP P ?? ?? h ? ? ? b ? i ? b ?? ? b ? h ? i ? ? i ? h ? h De plus b i h On en déduit b ? ? i ? ? h ? ? CRemarque On pourrait chercher des formules explicites pour bn in hn De la relation de récurrence Pn T Pn on déduit une formule explicite Pn Tn P Mais pour l ? exploiter il faudrait expliciter Tn C ? est possible valeurs propres ? mais ce n ? est pas simple et ça dépasse largement le programme CProblème Une ronde sur un triangle CNous sommes au XIVe siècle dans le ch? teau de Poitiers Il est triangulaire anqué d'une tour à chaque angle Est Nord Sud Partant de la tour Est la sentinelle fait sa ronde sur le rempart A chaque angle pour tromper l'ennemi et l'ennui il jette une pièce ? pile il continue dans le même sens ? Face il repart en sens inverse Pourra-t-il assurer une surveillance identique dans toutes les directions