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UNIVERSITE DE YAOUNDE 1 SUPERlf:UHE POLYi EU :~''.Jl Ql_ii· E~amen d';"1lgèbre

UNIVERSITE DE YAOUNDE 1 SUPERlf:UHE POLYi EU :~''.Jl Ql_ii· E~amen d';"1lgèbre ~énérale MAT _ 117 de, fin tle premier se m estre 7-0J.///1),_/-; Duré__g_ :3_ h Pc1r Thomas B. BOUETOU EXERf.iCE Il (i~pt.'.-) :) Hé:1 .1•:.:,1; dre j>H V ou F ot;i l'or(!;-:::(\'.'. 'J •llt ~ 1 1 ':mcni. . de G divis•.'. Il, Jlllf'.:: l'1.1rdrï• :le(; rlivi,;,·, ' I . \ . r· · ( " ' \ r· . . 1 • ' .. 1 ' ' JJ .:.~1 . , ~~'.") . i1ï ! !: : 1 : ::.: :.,}t!l ~:ou\-groitp':": pr,:q--.ï,: {J!:: ~, ( ::.i. • . \·r: 11qu ;~ . ::, • ... ,: ·; '-. · ·~:: : . e~_; 1_ 1;11 sow, g1cn1pe di~tingv :- : .-1, .- Hc.:r;1Jrquc- !: toute réponse fr1us'.;c ::,,~,;J sc1nctio11n,'·c 1 Ill_ f' our c;i;:icu1io:~ ch:~. ue1 mulaUons suivank5.i.:xprimer le~; en produits d,, ~ :','cl• · ind~penda11ls el c:1 .produits de transpositions_. donner leur.parité et r:k1 ,?rr;1i1 ,,_,t \ r_~ 1 ;r :,r .. :. ;, ·-i • (' • ') ~ ) ,_, s () 7 " j f l -· ) ' 1 ·-1 (, S' 1 1) ·1 ,-- -- fJ · . . : ~3 :,-I •,) ••·· 6 , . ' J 4 7 Î s ~ G .:\ 1 \~ ., ,._ ( . , ( 1 "') .., -~1 5 (, 7 8j ( 1 , ) ~ ,1. ,:· {) s> · . _ ) , .. ) l' _ ;_ 1 ,u. : ..:: \ ~ ' -- I ,, () 4 1 8 2 7 r.: , ,1 2 () f 5 ,J J ' , .. l ' . '· \"" EXEHCICE lll (Spts) 1/ k· ":-111.>~ri.,up {'r (~'. l\ic. cc11l1ali.1~:r ,,:- :'I (· ·c · ( c.., \. · 1 · 1 - /{ \ = - ~ ~c·· (: T • l' '.O ::.:: ·1 ·· . ·/(./ c. ' · - , ) l , - - . . t t.. . ~- ' 1 . ,111d \lr:11 ir ;/ is ;; 11 ;i\Jcli,111 !.llhgrp111, or(;: ilw,n ,-) in D' i·, ,l,·ii111' ci lm.u !2.. 1 . . . . "--(} te/V ,··· . !'rr,,,,, \11,ïl ~ -.'.·li) i·, :1~\ôrt 6_ ' ,. 1·1 1 ·•11·1\ .. , ( ,' if\ • ' ' ; • ,; il '-. / 1 ' ( ,· 1,) i 11t / ( C ) IJE: tilc centre or c i group G . If f] is a subgroup ~f G sucl1 that / / ~:~ Z ( C), prove that II is norrnal in C and th.it G is abEdia11 if and only if ( / / / / is cyclic !'i~Of!LLIVll: (Bpts) ~~(-ll{ !l_ ILH ~.;uJLs-gn.lll))l; c1)11n gronpe c~. Soit O. == { al-I, Q, E < '. l . 1 ·,.,1.-,<.·t1d . ilc.: de.: cL.1.ssc.:s h gn.11d1c rr1odnlo fl. Le gronpû C ag'iL s11r Ç2 d,· b ,11,,nii:l'i'! i;i\ÏvanLc : 1. l ;, !.,·1111i1,1-r p u 11r c-dtr:·ac.:Licrn le~ sLtd)il:isa.te1ir dans C <1:nn [,1r111Hil. all ,kn 1 ' }o~ ~ ·, · l'~1 ili,. :,1 i i:;n de C da: ns l\!J 1sc.~ rnbk! ck?s 1wrn11Lt· .atirn, : ~· (k • 0 c~(-0- i , i,: : :: , i : \/ ff E G1 Va c G, v(g)(al-l) :-= _qaH. { .. ) :·. ! "' 1L,,-1 q11r: c.p cs L 1m homumorphisn1<~ . N c ::: (-/ ,t Hn--;i. ;:, .· l/ • , .' • 11 ' 1 • ( )11 l ' l! d (dqil. dm,c fjll(: 11 : l; _ ,_ ,TUl.l" Jï" ,n 11.·[- Ic, -l " • csLk:p1l1.sgrand · ac= G . ,1. ~;--:J,1111;(- <.11~ . ··t.i11P:1•t <l t·· . c - · - 1 - , 1 --r : • •~ • · , < ·on ,< :J 111 tt[i.ns _ - . HONNE C!- .1/\l'~lCC '- L ll ,~ 11.,,i:,..,r-•~- cr "A'"'l'"D .- ;, . , "\.. , ,_.,,: ~: ; :.:, f. l_ .'1 f'l r:1 SESSION NORMALE ' 1 ECOLE NATIONALE SUPF.R!EURF. POLYTECHNIQUE CYCLE INGENIEUR 1 DEPJ\P.TEMENT DE M.C..THEf\1ATIQUE ET DE SCIENCES PHYSIQUES JANVIER 2016, durée: 3h E?~:: U\/E C' ALGEBRE GENERALE EXAMINATEUR: Pr BOUETOU Exercice 1 ·( 6pts) i- Soit (G,*) , (G',.) deux groupes et f: G - G' un morphisme de groupes. , 2) : i•.1lor:it:e,,que. pour :~ut :s?u~-woupe: ~ ~e , G~ f(H} e;st ~m _ sous-groupe·de:(G', ~). b) r vlont,G r qL 'e pour tout sous-group, e, If _ de G', C-~ 1.(l-I') est un sous-groupe de (G,*). JI- Dans 12 suite, on suppose que G est_ un groupe noté multiplicativement. Pour a e G, on ncte -r11 l'<.1pplication de G vers G définie par Ta(x} = axa- 1 • a) Ment,:?~ c;u;:_; t;-i est un morphisme du groupe (Ç,x) dans lui-même. b' V":!ri.-ier q~:e 'v'a, b E G, La O Lb = tab c1 ~ vlcnt,er que 'T8 est bijective et déterminer son application . ! éci_eroque. d) cî, c:écluire que T = { i:a l a E G} muni du produit de composition est un group 'c=. Exercice 2 (~2.lli /- Soient E et F deux ensembles et f : E -➔ F une application. 1. Mont,er c;ue pour toute partie A de E, on a Acf-1 (J(A)). 2. t,/!c'":tr::;r q•.12 pour toute partie B de F, on a (f- 1 (B))cB. 3. ~/or.trer c;ue f est injective si et seulernent si pour toute partie A de Eon a A= f - l fC A)). . . 4. Montr2r que / est surjective si et seulement s, pour toute partie B de Fon a ~7 (f-1 (B)) =-=R. <j . Il- QCM: .Répondre per VRAI ou FAUX Bonne réponse : +0,5 pt; mauvaise réponse -0,5 pt. Scit un ensemble de 50 animaux qui sont soit mâle soit femelle, soit carnivcre·soit he~bi11ore. On co.nsic!è'.'è les énoncés suivants : r : << tcu'. :-:1::i!c est cJ rnivo~ e ,, ; et Q : « il existe un mâle carnivore et il existe une femelle carnivore » ; alors dans l'ensemble des 50 animaux : 1. pour_ prouver que P est vrai, il suffit de vérifier que tous lës herbivores sont de femelles· ~ 2. pour prouver que P est fa_ ux, il est nécessaire de vérifier que tous les mâles son herbivores ; 3. pour prouver que Q est vrai, il suffit de trouver une femelle carnivore ; 4. pour prouver que Q est vrai, il est nécessaire de trouvèr une femelle célrnivore ; 5. pour prouver que Q est faux, il est nécessaire de vérifier que les 50 animaux sont herbivores. Exercice 3 (4pts) Sur - ~ 2 on consldère la relation 'R définie par : ( a, b). R (c, d) ~-a2 + b2 · . -c2 + d~ 1. Montrer que R est une relation d'é:quivalence. 2. Décrire la classe d'équivalence ( èi., b}du couple ( a, b) . 3. On désigne par !R2 / 'J}. l'ensernblS! (;'...!Ct;s.-:t pour cene relation. Montrer que l'application rr: R2 /R -t [O; +co( (a,b) f---, a2 + b2 est bien définie et que c'est une bijection. Exercise 4 (4pts) . Let H and N two subgroups of C and N is nc-rmal. Show that: 1- HN={hn I h e H, n EN} is a subgroup of G 2- If H is also normal, then H N is a normai subgroup of G. 3- H n N is a normal subgroup of H. ' 4- N is a normal subgroup of H N. 5- The map is an isomorp.hism. cp: H/ H(n N ~ HN I N h.( J-1 n N) i--, h .N - U1 \I\T1{:-;.!TE DF Y,\O tl'~ l>E 1 r-cuu: :-/,\ TIOi', .-\ LE ~Ul'EJH[t:RE POLYTEUI Nl<)U[ Contrülc Continu tLdgèhn.· ::ii:m'.·rnk Dun'.·c:3h • l\1r ll i-1111:1, 13. l~O l 1 1 :î ( ,( 1 Exercice 1 (Aµpreri tissage à la bonne rédaciic,n ; J'v11e rlé.nori stration) Soit/': X - 1 1 une application. 1. 1. Soient il et U des ~a rti es dt· X. Oue dire de/ (;l n H I c.'t { (. i) n / (i? )? 1 0 2s,·tJ 2. Montrer que f est injecr.ive si et seulem en t si V A, B c X. ( ( il n 13) = / ( ,i) n } ( B). Il . l. Montrer que f est sur_iective si et s;;:u1 ement si VA c X. ;fTI c f(if ). 11,; 501) 2. Montrer que f est injective si et seulement s ·i V 1 1 c X, f(A) c f(A) . 11.25p1) 3. Montrer que/ est injective si et seulement si VA c X, /- 1 (/(A)) = ,1 11,2spr) Exercice 2 (U n peu de logique) ~ I ,.,,, ~. ro ;, mio< ' ll ; ',•:on,-,p Ro;:,t r ;,,, ;fi;:,rlr,)· t , , r)plnh in c, ps·prront n11;itre t"rcfessir11><. ,iiffé->re0tes . a. ti. C. ci e. avocate, médetin, pharmacienne et professeur. Ni Béatrice, ni Chariotte n'exercent une profession de santé. uploads/Sante/ sn-algebre.pdf