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Master Sciences de l’Ingénieur 1e année Parcours Mécanique et Ingénierie des Sy

Master Sciences de l’Ingénieur 1e année Parcours Mécanique et Ingénierie des Systèmes Module d’option MS 154 AÉRODYNAMIQUE APPLIQUÉE Travaux Dirigés 2009 Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 École Normale Supérieure de Cachan Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 2 Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 3 T.D. 1 : Rappels de mécanique des fluides Exercice 1.1 : Similitude d’écoulements On considère un écoulement incompressible autour d’une aile de dimension caractéristique L1 qui se déplace dans l’air à la vitesse U∞,1 = 42 m·s−1. Pour étudier l’écoulement autour de cette aile, on réalise des essais en canal hydrodynamique. 1. Montrer que deux nombres sans dimension sont nécessaires pour décrire cet écoulement. 2. Déterminer la dimension caractéristique de la maquette pour que l’écoulement d’eau de vitesse U∞,2 = 2,8 m⋅s−1 dans le canal hydrodynamique soit en similitude réduite au nombre de Reynolds par rapport à l’écoulement d’air autour de l’aile réelle. On se place, aussi bien dans l’air que dans l’eau, dans les conditions de l’atmosphère standard (101 325 Pa et 15 °C). 3. Déterminer la force qui s’exerce sur la maquette de l’aile dans l’eau pour avoir une similitude complète, c’est-à-dire similitude du nombre de Reynolds et du coefficient d’effort. Exercice 1.2 : Atmosphère Pour l’atmosphère standard (ISA) à une altitude de 12 000 m, la température de l’air est T = 216 K et sa masse volumique ρ = 0,312 kg⋅m−3. 1. Déterminer la pression correspondante. 2. Un avion évolue à cette altitude à la vitesse U∞ = 242 m⋅s−1. Quelle est la pression totale mesurée sur cet avion. Exercice 1.3 : Variables totales Un écoulement d’air a pour nombre de Mach M = 2, une température statique T = 288 K et une pression statique p = 101 325 Pa. 1. Déterminer la masse volumique ρ et la vitesse V correspondante. 2. En déduire les variables totales Tt, pt, ρt. Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 4 Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 5 T.D. 2 : Efforts aérodynamiques Exercice 2.1 : Plaque dans un écoulement supersonique On considère une plaque mince de corde c = 1 m plongée dans un écoulement avec un angle d’incidence de 10° (Figure 1). Les répartitions de pression et de tension de cisaillement sont données en Pa par : ( ) 4 2 4 10 4 , 5 1 10 4 ⋅ + − ⋅ = x pe 2 , 0 288 − = x e τ ( ) 5 2 4 10 73 , 1 1 10 2 ⋅ + − ⋅ = x pi 2 , 0 731 − = x i τ où x est la distance comptée à partir du bord d'attaque du profil. Calculer les forces normale et axiale au profil et en déduire la portance et la traînée. Figure 1 : Profil constitué d’une plaque plane en incidence. Exercice 2.2 : Finesse d’un avion de tourisme Le Cessna Skyhawk 172R est un avion de tourisme qui évolue à une vitesse de croisière de 60 m⋅s−1 à une altitude de 4 000 m où la masse volumique de l’air est de 0,819 1 kg⋅m−3. La masse de l’avion est de 1 100 kg et sa surface alaire de 16,2 m2. Le coefficient de traînée, pour des conditions de vol de croisière, est de 0,041 6. Calculer le coefficient de portance et la finesse de l’avion. Exercice 2.3 : Biseau dans un écoulement supersonique On considère un écoulement supersonique qui se développe sur un profil en biseau de demi- angle au sommet de 5°, de corde c = 2 m, à incidence nulle et attaqué par la pointe (Figure 2). Le nombre de Mach en amont du profil est M∞ = 2, la pression de l'écoulement incident et sa masse volumique sont respectivement p∞ = 1,01⋅105 Pa et ρ∞ = 1,23 kg⋅m−3. Les répartitions de pression sur les deux faces du profil sont égales : pe = pi = 1,31⋅105 Pa et la pression exercée à l'arrière du profil vaut p∞. Le cisaillement sur les deux faces est constant : τe = τi = 431 s−0,2 Pa Calculer le coefficient de traînée de ce profil. x z 0 c α U∞ Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 6 Figure 2 : Profil en biseau à incidence nulle. Exercice 2.4 : Cône en écoulement hypersonique Un cône de demi-angle au sommet θc, de hauteur c et de rayon à sa base rb, est plongé dans un écoulement hypersonique avec une incidence nulle et voit l’écoulement par sa pointe (Figure 3). Le coefficient de pression sur la surface du cône est Cp = 2 sin2 θc. Sur sa base, on suppose que la pression est constante est vaut p∞. En négligeant l'effet du frottement, calculer le coefficient de traînée CD, déterminé à partir de la surface de la base du cône Sb. Figure 3 : Cône en incidence nulle. x r U∞ 0 rb θc p∞ p p∞ r r + dr dS x z M∞ = 2 0 c ds p∞ ρ∞ 5° Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 7 T.D. 3 : Écoulement potentiel Exercice 3.1 : Ovale de Rankine On considère un écoulement 2D constitué de la superposition entre : − un écoulement uniforme de vitesse U∞ à incidence nulle ; − une source ponctuelle d'intensité Σ placée en x = − x0 ; − un puits ponctuel d'intensité − Σ placée en x = x0. On utilise un système de coordonnées cartésiennes. 1. Déterminer le champ de vitesse correspondant à cet écoulement. 2. Déterminer la position des points d'arrêt. 3. Tracer la ligne de courant correspondant au contour matériel ainsi modélisé par cette superposition d’écoulements. Exercice 3.2 : Cylindre non portant On considère l’écoulement résultant de la superposition d’un écoulement uniforme U∞ et d’un dipôle 2D centré à l’origine, d’intensité Λ (Figure 4). On utilise un système de coordonnées polaires. 1. Calculer la fonction potentielle et la fonction de courant associées. 2. En déduire le champ de vitesse. On posera R2 = Λ / 2π U∞. 3. Déterminer les points d’arrêt de l’écoulement, ainsi que la vitesse pour r = R. 4. Calculer le coefficient de pression et tracer son évolution en fonction de l’azimut. 5. Déterminer les points sur le cylindre pour lesquels la pression est égale à la pression à l’infini amont p∞. Figure 4 : Modélisation de l’écoulement autour d’un cylindre. Exercice 3.3 : Cylindre portant (effet Magnus) On ajoute à l’écoulement de l’exercice 2.2 un tourbillon centré à l’origine d’intensité Γ > 0 (Figure 5). 1. Calculer la fonction potentielle et la fonction de courant associées. On posera R2 = Λ / 2π U∞. 2. En déduire le champ de vitesse. 3. Déterminer les points d’arrêt de l’écoulement, en fonction de la valeur de Γ. 4. Calculer le coefficient de pression. 5. En déduire le coefficient de portance du cylindre. θ x z Λ r U∞ Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 8 Figure 5 : Modélisation de l’écoulement autour d’un cylindre en rotation. Exercice 3.4 : Superposition d’un écoulement uniforme et d’une source Calculer l’écoulement résultant de la superposition entre un écoulement uniforme U∞ et une source de débit Σ > 0 placée à l’origine. Déterminer la position du point d’arrêt et en déduire le contour matériel ainsi modélisé. Exercice 3.5 : Écoulement autour d’une sphère On considère un écoulement 3D constitué de la superposition entre (Figure 6) : − un écoulement uniforme de vitesse U∞ à incidence nulle ; − un dipôle 3D d’amplitude Λ centré à l’origine du repère. On utilise un système de coordonnées sphériques (r,θ,ϕ). 1. Déterminer le potentiel et le champ de vitesse associés à cet écoulement. 2. En déduire la position des points d’arrêt. 3. Donner l’équation de la surface matérielle ainsi modélisée. 4. Calculer le coefficient de pression Cp autour de cet obstacle. Figure 6 : Superposition de l’écoulement uniforme et du dipôle. U∞ Λ x z y O r θ M ϕ θ x z r U∞ Γ Λ Aérodynamique Appliquée − Th. FAURE − Master SDI Parcours MIS − Module MS 154 9 T.D. 4 : Théorie des profils Exercice 4.1 : Profil parabolique On considère dans un écoulement U∞ avec un angle d’incidence α, un profil dont la ligne de cambrure moyenne est donnée par la relation : ( )      − = c x c x m x z 1 4 1. Calculer les coefficients de Glauert Bn et An. 2. En déduire la répartition de tourbillon γ (θ) puis par intégration la circulation globale Γ. 3. Déterminer directement à partir des coefficients de Glauert la circulation Γ, la portance L′, le moment de tangage de bord d'attaque M′BA uploads/Voyage/ td-ms154.pdf