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Resume 3 1 MAT Yvan Martel Cours Topologie et espaces de fonctions Démonstration du lemme de Riesz suite et ?n Soit y ?? F arbitraire On a Compacité en dimension in ?nie Théorème de Riesz Le théorème de Riesz relie une propriété algébrique d ? un espace v

MAT Yvan Martel Cours Topologie et espaces de fonctions Démonstration du lemme de Riesz suite et ?n Soit y ?? F arbitraire On a Compacité en dimension in ?nie Théorème de Riesz Le théorème de Riesz relie une propriété algébrique d ? un espace vectoriel normé la dimension à une propriété topologique compacité des parties fermées et bornées a ??b a ?? b a ?? b y x ??y ??y a ??b a ??b Comme b a ?? b y ?? F on a a ?? b a ?? b y donc x ??y a ??b et Théorème Soit E un espace vectoriel normé La boule-unité fermée B f de E est compacte si et seulement si E est de dimension ?nie Remarques ?? En toute dimension les boules fermées d ? un espace vec- toriel normé sont bornées par dé ?nition et fermées ?? En dimension ?nie nous avons vu dans le cours précé- dent que les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées en particulier les boules fermées sont compactes ?? Pour prouver le théorème de Riesz il reste donc à prouver l ? implication dim E ? ?? B f est non compacte Finalement comme a ??b ? ?? ?? a ??b ?? on obtient x ??y Le lemme est démontré a ??b ?? Tout sous-espace vectoriel de dimension ?nie est fermé On va aussi utiliser le lemme suivant pour prouver l ? implication non immédiate du théorème de Riesz Lemme de Riesz La démonstration du théorème de Riesz est basée sur le lemme suivant Lemme Soit E un espace vectoriel normé Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E distinct de E Alors pour tout ?? il existe x ?? E tel que x et inf x ?? y ?? y ??F Reformulation ce lemme énonce que si F est un sousespace vectoriel fermé strict d ? un espace vectoriel normé E alors pour tout ?? on peut toujours trouver un vecteur de la sphère unité de E qui est à distance supérieure à ?? du sous-espace F Lemme Dans un espace vectoriel normé un sous-espace vectoriel de dimension ?nie est fermé Preuve On utilise le critère séquentiel soit xn n une suite dans F admettant une limite x ?? E il s ? agit de montrer que x ?? F La suite convergente xn n est bornée il existe R tel que xn n ? B f R La partie B f R ??F est une boule fermée de F donc une partie compacte puisque dim F ? Il existe donc une sous-suite x n n qui converge dans F Par unicité cette limite doit être x d ? o? l ? on déduit que x ?? F Démonstration du théorème de Riesz Démonstration du lemme de Riesz Rappel pour Y une partie de E et x ?? E on note d x Y inf x ?? y y ??Y Par dé ?nition d ? une borne inférieure on a d x Y