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Stats Une introduction aux statistiques inférentielles Christophe Lalanne Sommaire Quelques rappels utiles de probabilités Les axiomes fondamentaux Indépendance probabilités conditionnelles Variables aléatoires Espérance mathématique et moments Fonctions

Une introduction aux statistiques inférentielles Christophe Lalanne Sommaire Quelques rappels utiles de probabilités Les axiomes fondamentaux Indépendance probabilités conditionnelles Variables aléatoires Espérance mathématique et moments Fonctions génératrices et fonctions caractéristiques Lois de probabilités usuelles Méthode d ? estimation de paramètres Maximisation de la vraisemblance Autres méthodes d ? estimation Estimateurs de variance minimale Exemple d ? application construction de di ?érentes statistiques de test La méthode Expectation-Maximization Construction de l ? algorithme Exemples d ? application de l ? algorithme EM Tests statistiques Cha? nes de Markov Matrice des probabilités de transition et graphe des transitions d ? état Évolution temporelle des distributions de probabilités d ? états Classi ?cation des états Ergodicité Distribution stationnaire Cha? nes de Markov réversible Cha? nes de Markov à temps continu Méthodes de Monte Carlo par Cha? nes de Markov MCMC Règle d ? acceptation-rejet Applications de l ? algorithme de Metropolis-Hastings Recuit simulé et MC Cha? nes de Markov cachées Probabilité d ? occurence d ? une séquence de symboles Algorithme backward ? Algorithme forward ? Algorithme de Viterbi Algorithme de Baum ??Welch Exercices C Quelques rappels utiles de probabilités Quelques-uns des concepts fondamentaux en statistique théorique nécessitent pour le lecteur de s ? être bien approprié certains éléments de la Théorie des probabilités Dans cette perspective on se contentera de rappeler les axiomes du calcul des probabilités les notions d ? indépendance et de probabilités conditionnelles celles-ci nous amenant directement à exposer le principe de Bayes En ?n nous dé ?nirons les variables aléatoires à valeurs dans Nm ou Rm avec les lois de probabilité usuelles et les règles de manipulation qui leur sont associées Les distributions de probabilité les plus utiles en biologie sont présentées dans des ouvrages généraux Billingsley Feller Fisz Johnson et al and Kendall et al Les axiomes fondamentaux Une probabilité est une fonction qui associe un nombre appartenant à l ? intervalle à un ensemble A On dit que Pr A est la probabilité d ? un ensemble ou d ? un événement A Généralement on considère que les événements font partie d ? une famille A de sous- ensembles d ? un espace probabilisé dénoté Si cette famille est close par rapport à la complémentation A ?? A ?? Ac ?? A ainsi qu ? à la sommation dénombrable Ai ?? A i ?? ? i Ai ?? A et si elle contient l ? ensemble vide ? et donc ? c on parle d ? une ?-algèbre de sous-ensembles de L ? axiomatique de Kolmogorov conduit à dé ?nir les propriétés suivantes i P A ?? A ?? A ii P Ax de normalisation iii P ? i Ai ? i P Ai Ai ?? A Ai ?? Aj ? i j Ax d ? additivité L ? additivité ?nie est une conséquence de iii et on retrouve le résultat bien connu P A ?? B P A P B A B ?? A A ?? B ? La probabilité associée à la réunion de