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Suite de fibonacci Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d'entiers très connue Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo Pisano plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci - Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages

Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d'entiers très connue Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo Pisano plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci - Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages le Liber Abaci Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins Possédant initialement un couple de lapins combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? Ce problème est à l'origine de la suite dont le -ème terme correspond au nombre de paires de lapins au -ème mois Dans cette population idéale on suppose que ? le premier mois il y a juste une paire de lapereaux ? les lapereaux ne sont pubères qu'à partir du deuxième mois ? chaque mois toute paire susceptible de procréer engendre e ?ectivement une nouvelle paire de lapereaux ? les lapins ne meurent jamais donc la suite de Fibonacci est strictement croissante Présentation mathématique Formule de récurrence Notons le nombre de couples de lapins au mois Jusqu ? à la ?n du deuxième mois la population se limite à un couple ce qu'on note Dès le début du troisième mois le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins On note alors Plaçons-nous maintenant au mois et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard désigne la somme des couples de lapins au mois et des couples nouvellement engendrés Or n'engendrent au mois ceux qui existent deux mois auparavant On a donc que les couples pubères c'est-à-dire Nous obtenons ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents pour obtenir chacun de ces deux termes il faut faire la somme de leurs termes précédents ? et ainsi de suite jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux et qui sont connus Nombres de Fibonacci Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci suite A de l ? OEIS Expression fonctionnelle On souhaite établir une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci c'est-à-dire une expression telle que le calcul du nombre de couples pour une valeur de donnée ne présuppose la connaissance d ? aucun nombre de couples pour une quelconque autre valeur de ce que ne permet pas la formule de récurrence Comme la suite de Fibonacci Cest récurrente d ? ordre deux on peut écrire son équation caractéristique On obtient une équation du second degré Le calcul du discriminant de cette équation donne les deux solutions du polynôme et est le nombre d'or Les suites et engendrent alors l'espace vectoriel des suites véri ?ant un un un Il en résulte que et sont des constantes à déterminer à partir de et Les conditions initiales et conduisent au système suivant Ce qui donne le résultat suivant et Nous obtenons ?nalement l'expression fonctionnelle recherchée qui porte le nom de formule de Binet