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Sxmp201 pdf ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D ? ADMISSION DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée heures L ? utilisation des calculatrices n ? est pas autorisée pour cette épreuve On attachera la plus grande importance à la clarté à la précisi

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D ? ADMISSION DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée heures L ? utilisation des calculatrices n ? est pas autorisée pour cette épreuve On attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction On se propose d ? établir quelques propriétés des sous-groupes discrets des espaces euclidiens Dans tout le problème on désigne par n un entier strictement positif par E l ? espace Rn par son produit scalaire usuel et par la norme correspondante On rappelle les faits suivants a un sous-ensemble L de E est dit discret si tout élément x de L est isolé i e admet un voisinage V dans E tel que L ?? V x b un groupe abélien G est isomorphe à un groupe Zm si et seulement s ? il admet une Z- base c ? est-à-dire une famille e em telle que tout élément g de G s ? écrive d ? une façon unique m sous la forme g kiei avec ki ?? Z i Première partie Démontrer les assertions suivantes a Un sous-groupe L de E est discret si et seulement si l ? élément est isolé b Tout sous-groupe discret L de E est fermé dans E c Les sous-groupes discrets de R sont exactement les sous-ensembles de la forme aZ avec a ?? ? On désigne par un nombre réel et par L le sous-groupe de R ensemble des réels m n o? n m ?? Z Montrer que L est discret si et seulement si est rationnel C Construire un sous-groupe discret L de R tel que sa première projection sur R ne soit pas discrète On se propose ici de démontrer que tout sous-groupe discret L de E est isomorphe à un sous-groupe d ? un groupe Zm On désigne par F le sous- espace vectoriel de E engendré par L par m sa dimension par a am une base de F contenue dans L et par L le sous-groupe de L engendré par cette base En ?n on pose m P L ?? ?iai ?i ?? i a Véri ?er que P est un ensemble ?ni b Etant donné un élément x de L construire un couple y z ?? L ? P tel que l ? on ait x y z et démontrer son unicité c Soit encore x un élément de L écrivant kx yk zk pour k entier montrer qu ? il existe un entier d tel que l ? on ait dx ?? L d Conclure Dans cette question L est un sous-groupe de Zm ses éléments seront notés x x xm on posera ? x xm a Montrer qu ? il existe un entier k et un élément x de L tel que l ? on ait ? L kZ ? x Z b On suppose ici ? L non réduit à étant donné un élément x de L construire un couple p x ?? Z