Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Td2 corrige Algèbre Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td Formes bilinéaires Semestre Exercice Dans E R muni de sa base canonique B e e e on considère l ? application b E ? R dé ?nie par b x x x y y y x y x y ?? x y Justi ?

Algèbre Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td Formes bilinéaires Semestre Exercice Dans E R muni de sa base canonique B e e e on considère l ? application b E ? R dé ?nie par b x x x y y y x y x y ?? x y Justi ?er que b est une forme bilinéaire sur E Déterminer la matrice B représentant b dans B b est-elle symétrique antisymétrique Déterminer la partie symétrique b et la partie antisy- métrique b de b Déterminer le rang de b Mêmes questions avec b x x x y y y x y x y x y ?? x y ?? x y Solution On voit que b x x x y y y e ? ? e ? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? De plus les applications de la forme ei ? ? e ? j sont des formes bilinéaires et l ? ensemble des formes bilinéaires forme un espace vectoriel Ainsi b est bien une forme bilinéaire F EB F F F ED On rappelle que B b ei ej ? i j ? On trouve donc B F F ?? La matrice B est symétrique la forme b est donc aussi symétrique La décomposition de b sous la forme b b o? b est la partie symétrique et b est la partie antisymétrique est donc b La matrice B est clairement de rang donc b est de rang On considère maintenant l ? application b x x x y y y x y x y x y ?? x y ?? x y On voit que b x x x y y y e ? ? e ? e ? ? e ? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? et donc b est une forme bilinéaire puisque b est une combinaison linéaire de formes bilinéaires On trouve F EB F F F ED F F B ?? ?? La matrice représentative de b est B B tB et celle de b est B B ?? tB soit F EB F F F EB F F F ED F F F ED F F B et B ?? ?? COn a donc b x x x y y y x y x y x y b x x x y y y x y ?? x y Le rang de b est le rang de la matrice B On a ?? ? ?? ? ?? ?? L ?L ?? ?? L L L ?? et donc b est de rang Exercice Soit b la forme bilinéaire sur E R dont la matrice F EB F F F ED représentative dans la base canonique B e e e est B F F ?? b est-elle symétrique antisymétrique Quel est son rang Pour tout u v ?? E déterminer b u v Justi ?er que la famille B e e e ??e