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Td7 corrige 2 E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - TD formes quadratiques ere anne ?e Algebre Exercices apr ?eparera la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en priorit ?e Exercices plus di ?ciles Exe

E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - TD formes quadratiques ere anne ?e Algebre Exercices apr ?eparera la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en priorit ?e Exercices plus di ?ciles Exercice D ?ecomposer sous forme de combinaison lin ?eaire de carr ?es les formes quadratiques r ?eelles suivantes en d ?eduire leur signature et leur rang a f x y z x ?? y xz yz b f x y z x ?? y ?? z xy ?? xz yz c f x y z x y z ?? xy ?? xz ?? yz d f x y z t xy yz zt tx e f x xn ? i Solution de l ? exercice On applique l ? algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes quadratiques On obtient a f x y z x z ?? y ?? z ?? z Donc sign f et rang f b f x y z x y ?? z ?? y ?? z Donc sign f et rang f c f x y z x y ?? z y ?? z ?? z Donc sign f et rang f d f x y z x z y t ?? x z ?? y ?? t Donc sign f et rang f e On peut par exemple remarquer que la matrice associ ?ee a f dans la base canonique admet pour valeurs propres ?? avec multiplicit ?e n ?? avec des vecteurs propres de la forme ei ?? e ? i ? n ou ei est la base canonique et n ?? avec mutiplicit ?e utiliser la trace Donc on en d ?eduit que sign f n ?? et rang f n f La forme polaire de f est la forme bilin ?eaire sym ?etrique A B ? tr AB On remarque que la restriction de f au sous-espace Sn R des matrices sym ?etriques est d ?e ?nie positive alors que la restriction de f au sous-espace An R des matrices antisym ?etriques est d ?e ?nie n ?egative En outre ces deux sous-espaces sont en somme directe et engendre Mn R et ils sont orthogonaux pour q Cela assure que sign q dim Sn R dim An R n n n n ?? et rang f n On peut aussi trouver directement la d ?ecomposition en carr ?es en remarquant que si A ai j on a f A ai j aj i ai i ai j aj i a i i ai j aj i ?? ai j ?? aj i i j i i i i i g Il est classique que f est la forme quadratique associ ?ee au produit scalaire canonique A B ? tr tAB donc f est d ?e ?nie positive donc sign f n et rang f n La d ?ecoposition en carr ?es est donn ?ee par f A i j a i j h Par