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Exercices Thermodynamique Ch Rappel Mathématique Formes di ?érentielles Exercice Déterminer si les formes di ?érentielles suivantes sont exactes et dans ce cas les intégrer ? xydx x dy ? xydx ?? zdy xzdz ? xex ??ydx ?? ex ??ydy ? yz dx xz z dy xyz z y dz Correction Exercice On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant F F x r cos cos F F y r cos sin F F z r sin Calculer dx dy dz Véri ?er que xdx ydy zdz rdr En déduire ? ? r x ? r ? y et ? ? r z Correction Exercice On considère la forme di ?érentielle ? x y x dx ydy Montrer que ? n ? est pas exacte Trouver une fonction ? x telle que ? x ? d f Préciser alors f On dit que ? est un facteur intégrant Correction Exercice On considère le champ vectoriel V x y xy x ?? Ce champ est-il un champ de gradient Correction Exercice Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel U x y z x xy xyz Correction Exercice Calculer la circulation du champ vectoriel V x y x x y le long du cercle C de centre O et de rayon parcouru dans le sens direct CCorrection Exercice Calculer le travail W de la force F x y z yz zx xy le long de l ? hélice H paramétrée par x cost y sint et z t o? t varie de à ? Correction Exercice On donne le champ vectoriel V x y z y cos x y sin x e z ye z Montrer que ce champ est un champ de gradient Déterminer le potentiel U x y z dont dérive ce champ sachant qu ? il vaut à l ? origine Quelle est la circulation de ce champ de A à B ? Correction Exercice En utilisant la formule de Green-Riemann calculer I D xydxdy o? D x y ?? R x y x y Indication Correction Exercice On considère la forme di ?érentielle ??y x ? x y dx x y dy Dans quel domaine cette forme di ?érentielle est-elle dé ?nie Calculer l ? intégrale curviligne C ? o? C est le cercle de centre O et de rayon parcouru dans le sens direct La forme ? est-elle exacte Correction Références P Thuillier J C Belloc Mathématiques analyse tome ème édition Masson D Duverney S Heumez G Huvent Toutes les mathématiques MPSI PCSI PTSI TSI Ellipses CIndication pour l ? exercice On rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre intégrale double et intégrale curviligne Théorème Soit D un domaine de R limité par une courbe fermée C que l ? on suppose coupée par toute parallèle aux axes en deux points au plus On considère une forme di ?érentielle ? Pdx Qdy dé ?nie sur D Si les fonctions P et Q sont de classe C on a Pdx