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Devoir de synthese n2 bac maths 2010 lycee pilote de tunis

EXERCICEN l Sp ? A Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie Pour tout entier naturel n divise le nombre - O pt Si un entier x est solution de l'équation xZ x mod alors x O mod O pt Il existe un seul couple a b des entiers naturels tel que a b et a V b- aA b O pt Deux entiers naturels M et N sont tels que M abc en base dix et N bca en base dix si M est divisible par alors M-N est divisible par lpt B Pour chacune des questions suivantes une seule réponse des trois réponses proposées est exacte L'élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie Aucune justi ?cation n'est demandée f dé ?nie sur -oo par f x -ln -x ? Une primitive de f est x- a F x -ln -x ? b F x -i -ln -x ? c F x z -ln -x ? O spt x -x f x ei - e est une bijection de IR sur IR l'application réciproque de f est c f x In R lpt Une asymptote de la fonction f dé ?nie par f x ln e X - eX est a li y - x b li y x e- c y x O Spt EXERCICEN Sp ? Pour coder un message on procède de la manière suivante à chacune des lettres de l'alphabet on commence par associer un entier ri de l'ensemble ? a selon le tableau C? dessous CEtape le reste de la division de xI pilr est Etape on associe à H donc P est codé pa la lettre H Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend a O Montrer que les lettres A et C sont cod es par la même lettre lorsque a Dans toute la suite de l'exercice on prend a et b a On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers n et p Montrer que si Sn et Sp ont le même reste dans la division par alors n-p est un multiple de Déduire une rela ion entre net p b Coder le mot AMI On se propose de décoder la lettre E ' Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer élément n de ? tel que Sn- y o? y est un entier On considère l'équation x- y avec x et y entiers a Déterminer en utilisant l'algorithme d'Euclide et en détainant les calculs e ?ectué une solution particulière et résoudre l'équation b En déduire qu'il existe un unique couple x y solution de l'équation précédente avec lcéo l'S''- 'th - q ' j i ro ''t J -- - '- -- ' k Etudier et représenter Cf dans le repère orthogonal i J unités graphiques cm sur l'axe des abscisses cm sur l'axe des ordonnées f On pose pour