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Ds 4 pdf CPGE Lyc ?ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI MPSI Devoir surveill ?e N o Dur ?ee h Consignes ?? Il sera tenu compte dans l ? appr ?eciation des copies de la rigueur de votre raisonnement de la clart ?e de la r ?edaction et du soin apport ?e a la pr ?e

CPGE Lyc ?ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI MPSI Devoir surveill ?e N o Dur ?ee h Consignes ?? Il sera tenu compte dans l ? appr ?eciation des copies de la rigueur de votre raisonnement de la clart ?e de la r ?edaction et du soin apport ?e a la pr ?esentation de votre copie ?? Les exercices et problemes peuvent etre trait ?es dans l ? ordre de votre choix mais ?? il est conseill ?e d ? essayer de les traiter dans l ? ordre ?? chaque exercice probl eme doit apparaitre d ? un bloc sur votre copie Prob eme Partie Etude de la fonction r ?eciproque de la fonction th On notera respectivement ch sh et th les fonctions cosinus hyperbolique sinus hyperbolique et tangente hyperbolique d ?e ?nies par ex e ??x ex ?? e ??x sh x ex ?? e ??x ??x ?? R ch x sh x et th x ch x ex e ??x Montrer en ?etudiant ses variations que th est une bijection de R sur un intervalle I de R a pr ?eciser On note argth la fonction ? argument tangente hyperbolique ? sa r ?eciproque Exprimer la d ?eriv ?ee de th en fonction de th D ?emontrer que argth est impaire D ?emontrer que argth est d ?erivable sur I et calculer sa d ?eriv ?ee Exprimer argth a l ? aide des fonctions usuelles Partie Etude d ? une ?equation fonctionnelle Le but de cette partie est de r ?esoudre le probleme suivant d ?eterminer les fonctions f d ?e ?nies sur R a valeurs r ?eelles et d ?erivables en qui v ?eri ?ent f x ??x ?? R f x f x Remarque Dans cette partie une solution du probl eme pos ?e est d ?erivable au point D ?eterminer les fonctions constantes solutions du probl eme pos ?e D ?eterminer les valeurs possibles de f si f est une solution Montrer que si f est solution on a ??x ?? R ?? f x Indication exprimer f x en fonction de f x Montrer que si f est solution ??f est aussi solution Montrer que th est solution du probl eme pos ?e On suppose que f est une solution du probleme pos ?e f et que f n ? est pas constante On considere x ?? R tel que f x f et l ? on d ?e ?nit la suite un n ??N par ??n ?? N un f x n CCPGE Lyc ?ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI MPSI a Montrer que la suite un n ??N est convergente et pr ?eciser sa limite b Etablir une relation entre un et un en d ?eduire que la suite un n ??N garde un signe constant puis ?etudier sa monotonie suivant le signe de u c D ?eduire une contradiction d Que peut-on dire si l ? hypothese ? f ? est remplac ?ee par l ? hypothese ? f ?? ? e