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Centrale supelec psi 2013 physique epreuve

Physique PSI heures Calculatrices autorisées Les frottements de glissement Diverses valeurs numériques sont regroupées à la ?n de l ? énoncé On y trouvera aussi un formulaire fournissant quelques intégrales utiles et deux expressions d ? analyse vectorielle Cet énoncé aborde quelques phénomènes associés aux frottements de deux solides ? et ? en glissement relatif le long de leur interface Dans ce contexte il est fondamental de distinguer l ? aire apparente S de cette interface telle que l ? on peut la percevoir à l ? échelle macroscopique de l ? aire réelle de contact A En e ?et la surface d ? un solide rugueuse à l ? échelle micrométrique présente des aspérités de hauteurs diverses Seules les plus proéminentes de chacun des solides se rencontrent et se déforment faisant apparaitre de petites zones plates appelées jonctions o? l ? interaction entre les solides se concentre I E ?ets thermiques aux jonctions Lorsque ? et ? glissent l ? un contre l ? autre les jonctions s ? échau ?ent à cause de la dissipation d ? énergie associée aux frottements Dans cette partie on étudie quantitativement cet e ?et I A ?? Di ?usion thermique dans un milieu semi-in ?ni On considère pour l ? instant un solide indilatable homogène et semi-in ?ni situé dans le domaine z ?? ? latéralement limité par un cylindre de O section s et de génératrices parallèles à ez ?gure Ce solide cylindrique z est calorifugé latéralement On note ? la conductivité thermique du maté- riau dont est constitué le cylindre ? sa masse volumique et c sa capacité calori ?que massique quantités indépendantes de la température Ce mi- Figure lieu présentant préalablement une température uniforme T va recevoir de l ? énergie thermique au travers de sa surface d ? équation z seulement Le rythme auquel ce transfert s ? e ?ectue sera précisé plus loin On analyse l ? évolution de sa température T supposée ne dépendre que de z et du temps t On note z t T z t ?? T l ? élévation de température provoquée par l ? apport thermique I A Montrer que l ? élévation de température z t obéit à l ? équation aux dérivées partielles ?c ? z t ? t ? ? z ? z t Que devient cette équation lorsque ? dépend de la température T I A Milieu chau ?é brièvement Dans cette question le solide n ? est chau ?é que pendant une durée extrêmement brève entre les instants t ?? ?t et t Pendant ce très court échange le solide reçoit la quantité de chaleur ?Q j s ?t Il en résulte une petite élévation de température notée ? z t a Que vaut ? z t pour t ?? ?t et z B z ? b On note G z t ?? exp t ?? Dt avec D ?c Véri ?er que la fonction ? z t G z t ?t est solution de l