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Chapitre 3 lois de probabilites usuelles

Chapitre Lois de probabilités usuelles discrètes et continues Lois de probabilités discrètes C Loi de Dirac ? Soit un nombre a ?xé et soit une v a X prenant la valeur a c ? est-à-dire P X a On appelle loi de Dirac au point a la probabilité ? a x F F F F F F x a x ??a La représentation de l ? histogramme et de la fonction de répartition sont Loi de Dirac C F F F F F F Loi de Dirac ? Sa fonction de répartition F x si x a si x ? a ? Son espérance mathématique est E X a et E X a ? Sa variance est Var X Prof Mohamed El Merouani Loi de Bernoulli ? Une v a X suit une loi de Bernoulli si elle prend les deux valeurs et avec P X p et P X q o? p q ? p s ? appelle paramètre de la loi ? X est dit événement succès et X est dit événement échec ? X représente donc le nombre de succès obtenu après la réalisation d ? une seule expérience aléatoire Prof Mohamed El Merouani C Loi de Bernoulli ? La loi de probabilité de X suivant une loi de Bernoulli est xi ?pi pi p q -p Alors E X ?xipi xp xq p Var X ?xi pi ??E X x p x q-p p-p Var X p -p pq Prof Mohamed El Merouani Loi Binômiale ? On considère l ? expérience qui consiste en n répétitions indépendantes d ? une même expérience dont l ? issue est l ? apparition ou la non apparition d ? un événement A qui ?? Soit se réalise avec la probabilité p p probabilité du succès ?? Soit ne se réalise pas avec la probabilité q -p q probabilité d ? échec ? Soit X le nombre d ? apparitions de cet événement parmi ces n expériences ? On a ? A ? n et ? X ? n Prof Mohamed El Merouani C Loi Binômiale ? On cherche P X k Le résultat de ces n expériences est une suite A A ? An o? Ai A ou ? pour tout i ? n ? Si on suppose que A est apparu k fois et ? n-k fois la probabilité d ? une de ces suites A A ? An est pk -p n-k Comme il existe Cnk suites A A ? An o? A est apparu k fois et ? n-k fois on déduit que P X k Cnk pk qn ??k ? k ? n Loi Binômiale ? n ? On véri ?e que P X k k ? ? En e ?et n n ??k Cnk pk ?? p p ?? p n k ? On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on la note symboliquement B n p ? On écrit X B n p Prof Mohamed El