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Dept de Mathématiques Université Batna - Analyse Numérique ème Année S A D Dr Oulia Bouhoufani Corrigé du TD Interpolation Polynomiale Exercice Soit P ?? P X l ? interpolant de Lagrange à déterminer Pour tout x ?? R on a avec P x yiLi x y L x y L x y L x y L x i x ?? x ?? x ?? x ?? x ?? x ?? L x ?? ? ?? ? ?? ?? x x ?? x ?? x x ?? x ?? L x ? ?? ? ?? x x ?? x ?? x x ?? x ?? L x ? ? ?? ?? x x ?? x ?? x x ?? x ?? L x ? ? Ainsi x ?? x ?? x ?? x x ?? x ?? P x ?? x x ?? x ?? x x ?? x ?? x ?? x x ?? Une valeur approchée de f f P Exercice Soit f x ln x x ?? R Pour estimer la valeur de ln par la méthode de Lagrange on détermine P le polynôme d ? interpolation de Lagrange associé au tableau donné comme dans l ? exercice L ? estimation de ln est la valeur P L ? erreur e ?ectivement commise au point par cette interpolation se donne par Ee f ?? P ?? ?? On considère comme valeur exacte f celle obtenue avec la calculatrice Estimer Et l ? érreur théorique au point x On a ET x f x ?? Pn x f n n ? ?ni x ?? xi ?? x xn CIci le n x et f x ln x d ? o? ET f ?? P f ? ?i x ?? xi ?? Il est claire que f ?? C f x x f x ?? x f x x f x ?? x D ? o? f x x On peut véri ?er facilement que la fonction x ?? ? x est décroissante sur par suite sup f x f ? x ? Par conséquent ET ? ? ? i x ?? xi ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? Pour le commentaire il su ?t de dire que l ? erreur commise calculée précedement est inférieure à la valeur ? ?? Exercice Soit n ?? N ? x ?? R Calculons l ? erreur théorique en interpolant la fonction g x ?? ? xn aux points xi i n i n Ici il s ? agit de n points d ? interpolation suivants n x x n x n xn n L ? erreur théorique se donne en tout point x de par ET x g x ?? Pn x g n n ? ?ni x ?? xi ?? ? o? Pn ?? Pn X est le polynôme de cette interpolation Pour tout x ?? on a g x xn nxn ?? g x n n ?? xn ?? g x n n ?? n