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Ds05 fonctionscontinues fonctionsderivables

Lycée Marceau MPSI Le lundi décembre Devoir surveillé no heures Ce devoir est constitué d'un problème et de quatre exercices L'ordre des E exercices ne correspond à aucun critère de di culté ou de longueur vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez Veillez à soigner la copie tant pour l'écriture la propreté que pour la rédaction la rigueur et l'argumentation La calculatrice est interdite Vous numéroterez vos copies et ferez appara? tre clairement sur la première page le nombre de copies Probleme th Partie I Etude de la fonction réciproque de la fonction On notera respectivement ch sh et th les fonctions cosinus hyperbolique C sinus hyperbolique et tangente hyperbolique dé nies par ex e ??x ex ?? e ??x sh x ex ?? e ??x ??x ?? R ch x sh x et th x ch x ex e ??x Montrer en étudiant ses variations que th est une bijection de R sur un intervalle I de R à préciser On note argth la fonction argument tangente hyperbolique sa réciproque Exprimer la dérivée de th en fonction de th Démontrer que argth est impaire Démontrer que argth est dérivable sur I et calculer sa dérivée Exprimer argth à l'aide de fonctions usuelles Partie II Etude d'une équation fonctionnelle Le but de cette partie est de C résoudre le problème suivant f R déterminer les fonctions dé nies sur à C valeurs réelles et dérivables en qui véri ent f x ??x ?? R f x f x Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé Déterminer les valeurs possibles de f si f est solution Montrer que si f est solution on a ??x ?? R ?? f x Montrer que si f est solution ??f est aussi solution exprimer f x en fonction de f x Montrer que th est solution du problème posé f Dans les questions à on suppose que est une solution du problème posé que f et que f n'est pas constante C On considère x ?? R tel que f x f et l'on dé nit la suite un n ??N par ??n ?? N un f x n Montrer que la suite un n ??N est convergente et préciser sa limite Etablir une relation entre un et un en déduire que la suite un n ??N garde un signe constant puis u étudier sa monotonie suivant le signe de En utilisant les résultats des questions et aboutir à une contradiction Que peut-on dire si l'hypothèse f est remplacée par l'hypothèse f ?? CLycée Marceau MPSI Le lundi décembre Conclusion Dans les questions à on suppose que f est une solution du problème posé et que f En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions à montrer que ??x ?? R f x ?? et f x ?? C On dé nit alors la fonction g par ??x ?? R g x argth f x Montrer que ??x ?? R g x g